I. Метод обратной матрицы

В матричной форме система уравнений (4) имеет вид (3). Пусть матрица системы А (5) является невырожденной, т.е. существует обратная матрица А^-1 (1). Умножив обе части этого уравнения слева на А^-1, получаем решение системы (4) в матричной форме: Х= А^-1В (6).

Пример: Решить методом обратной матрицы систему уравнений:

Решение: 1) Обозначим

А= ; Х= ; В= .

2) В матричной форме данная система имеет вид: АХ=В. Найдем определитель :

= = = = =

=(-1)·(-1)^{1+2 =}9-4=5 0.

Матрица не вырожденная и существует обратная матрица А^-1.

3) Матрицу А^-1 находим по формуле (1). Получим:

А^-1= .

4) По формуле (6):

Х= А^-1В= = = , т.е. решение системы (4;2;1)

5) При подстановке полученных значений, получено верное тождество.

Контрольные вопросы по теме:

1. Что такое определитель системы линейных уравнений?(ОК-1, ОК-2, ОК-11)

2. Какие системы называются совместными, несовместными, опре­делёнными, неопределёнными, однородными, неоднородными?

(ОК-1, ОК-2, ОК-11)

3. Что такое решение системы? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

4. Что такое матрица системы линейных уравнений? (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

5. Как записать систему линейных уравнений в матричной форме? (ОК-1,

ОК-2, ОК-11)

6. Как найти решение системы линейных уравнений в матричной форме

(ОК-1, ОК-2, ОК-11)

Теоретические задания в тестовой форме (ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

1. Если AY = C – матричное уравнение, в котором A, C, Y – матрицы, первые две из которых являются квадратными матрицами порядка n > 1, то укажите размер матрицы Y:

n×1;

1×n;

m×n, m ≠ n;

n×n;

2×2.

2. Решить матричное уравнение AY = C, где A и C – известные квадратные матрицы порядка n, означает

найти матрицу AC;

найти матрицу CA;

найти такую матрицу B порядка n (если она существует), для которой AВ = C;

найти матрицу А^–1 или убедиться в том, что такой матрицы не существует;

найти произведение матриц А^–1·С, если матрица А^–1 существует.

3. Пусть A, C, Y – квадратные матрицы порядка n; Y_i, C_i – i-е столбцы матриц Y и C соответственно, i = 1, 2, …, n. Тогда уравнение AY = C

и матрицу D= (A|C) называют соответствующими;

задает n систем линейных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n, с единой матрицей коэффициентов А;

задает (n + 1) матричных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n+1;

имеет расширенную матрицу (A|C) размера n×2n;

имеет расширенную матрицу (С|А) размера n×2n.

4. Строку расширенной матрицы (A|C), составленной для матричного уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, будем называть противоречивой, если

она состоит из одних нулей;

первые ее n элементов – нули, а остальные отличны от нуля;

первые ее n элементов отличны от нуля, а остальные – нули;

первые ее n элементов – нули, а среди остальных элементов найдется хотя бы один ненулевой;

в ней нет нулевых элементов.

5. Если расширенная матрица уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, содержит противоречивую строку, то можно утверждать, что матричное уравнение

имеет хотя бы одно решение;

имеет, по крайней мере, одно решение;

не имеет решений;

имеет единственное решение;

имеет бесконечно много решений.

6. Дано матричное уравнение AY = C с квадратными матрицами A, Y, C порядка n. Отметьте верные высказывания:

если матрица А невырожденная, то уравнение AY = Cможно решить методом Гаусса;

если А – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

если А – вырожденная, а С – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

если А – невырожденная, а С – вырожденная матрица, то уравнение имеет бесконечно много решений;

уравнение имеет единственное решение, если и только если матрица А – невырожденная.

7. Для матричного уравнения AY = C с квадратными матрицами A, Y, C одного и того же порядка укажите верные утверждения, описывающие взаимосвязь количества решений уравнения и свойств матриц А и С:

уравнение имеет единственное решение, если матрицы А и С невырожденные;

уравнение не имеет решений, если матрица А – вырожденная, а матрица С – невырожденная;

уравнение не имеет решений, если матрица А – невырожденная, а матрица С – вырожденная;

если решение уравнения единственно, то матрица А – вырожденная;

если обе матрицы А и С – вырожденные, то уравнение может либо не иметь решений, либо иметь решение в зависимости от вида этих матриц.

8. Пусть A – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица того же порядка. Матрицей, обратной для матрицы А, называется решение Y матричного уравнения:

А+Y = E;

А∙Y = E;

Y·A = E;

А+E = Y;

А–Y = E.

9. Укажите матрицы, для которых обратные матрицы либо не существуют, либо вообще не определяются:

вырожденные матрицы;

невырожденные матрицы;

квадратные матрицы, все элементы которых нулевые;

прямоугольные матрицы размера m×n, где m ≠ n;

матрицы, содержащие строку (столбец), состоящую из одних нулей.

10. Укажите верные высказывания:

если матрица невырождена, то она имеет обратную;

если матрица вырождена, то, в зависимости от ее вида, она может либо иметь, либо не иметь обратную матрицу;

любая вырожденная матрица имеет обратную матрицу;

матрица, имеющая обратную, невырожденная;

матрица, имеющая обратную, является вырожденной.

11. Если А^–1 – матрица, обратная для матрицы А, то справедливы следующие высказывания:

обратной для матрицы А^–1 является матрица А;

матрицы А и А^–1 являются взаимно обратными;

А· А^–1 = Е;

А^–1·А = Е;

(А^–1)^–1 = А.

12. Среди следующих квадратных матриц укажите такую, которая обратна самой себе:

;

;

;

;

.

13. Среди следующих матриц укажите обратную матрицу для матрицы :

;

;

;

;

.

14. Среди следующих матриц укажите обратную (если она существует) для матрицы :

;

;

;

такой матрицы не существует;

.

15. Если A, В, Е – квадратные матрицы, для которых выполняется равенство A·В = Е, то отсюда следует, что

А – невырожденная матрица;

В – невырожденная матрица;

А – обратная для В матрица;

В – обратная для А матрица;

выполняется равенство В·А = A·В.

16. Пусть A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, причем А – невырожденная матрица. Тогда относительного матричного уравнения AY = C можно утверждать, что

оно не имеет решения;

оно имеет единственное решение;

решением уравнения является матрица А^–1С;

для решения уравнения можно использовать метод Гаусса;

уравнение имеет более одного решения.

17. Если А – произвольная невырожденная матрица, то можно утверждать, что

для нее существует обратная матрица А^–1;

для матрицы А^Т существует обратная матрица (А^–Т)^–1;

А^–1 = (А^Т)^–1;

(А^–1)^Т = А;

(А^–1)^Т = (А^Т)^–1.

18. Пусть А, В – произвольные невырожденные матрицы одинакового порядка. Укажите верные утверждения:

в зависимости от вида матриц А и В их произведение А·В может быть как вырожденной матрицей, так и невырожденной;

для матрицы В·А существует обратная;

для матрицы А·В существует обратная матрица;

(А·В)^–1 = А^–1·В^–1;

(А·В)^–1 = В^–1·А^–1.

19. Если А – произвольная невырожденная матрица, то справедливы следующие высказывания:

А^Т – невырожденная матрица;

А^Т может быть как вырожденной, так и невырожденной в зависимости от вида матрицы А;

для матрицы А А^Т существует обратная матрица;

матрицы А и А^Т имеют одну и ту же обратную матрицу;

(А А^Т)^–1 = А^–1 (А^–1)^Т.

20. Пусть A, Y, C – квадратные матрицы одного и того же порядка. В каком из следующих случаев матричное уравнение AY = C может иметь бесконечно много решений:

А – невырожденная матрица;

А и С – невырожденные матрицы;

А – вырожденная, а С – невырожденная матрица;

А и С – вырожденные матрицы;

С – вырожденная, А – невырожденная матрица.

Практические задания общие(ОК-1,ОК-2,ОК-11):

Пример 1. Найти для матрицы

обратную ей матрицу А^-1.

Решение. 1. Вычислим определитель матрицы:

2. Составим присоединенную матрицу, с этой целью вычислим алгебраические дополнения

3. Определим обратную матрицу, используя формулу (16):

или

4. Выполним проверку.

Согласно определению произведение матриц А и А^-1 должно дать единичную матрицу.

Действительно,

2. Решить методом обратной матрицы систему:

Решение. A= , B= , X= .

Найдем A^-1

№ 3. Решить матричное уравнение:

а)

б) ,

A^-1= . Теперь найдем X: X= . Итак,

Проверка: Подставим найденные значения переменных в систему:

Ответ: (2; 5; 0).

№ 4. Решите системы линейных уравнений матричным способом:

а) б) в)

г) д)

Индивидуальные задания(ОК-1,ОК-2,ОК-11)

1. Найти обратную матрицу для следующих матриц.

1. А = 2. А = 3. А =

4. А = 5. А = 6. А =

7. А = 8. А = 9. А =

2. Данную систему уравнений записать в матричной форме и затем решить с помощью обратной матрицы (матричным методом)

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10) 11)

12) 13)

14)

Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы

2. Цель и задачи исследований

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов

4.Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию)

5. Выводы

6. Анализ и защита лабораторной работы производится по результатам представленного студенческой группой отчета (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы)

Преподаватель оценивает знание каждого студента.

Литература