Предмет и метод вычислительной математики

Введение

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого математика с самого начала была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных, методов решения задач. Названия некоторых из таких методов – Методы Ньютона, Эйлера, Гаусса, Чебышева, Эрмита и т.д. – свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.

Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением менее чем за 50 лет скорость выполнения арифметических операций возросла примерно в 10¹³ раз.

Распространенное мнение о всемогуществе современных ЭВМ часто порождает впечатление, что математики избавились почти от всех хлопот, связанных с численным решение задач, и разработка новых методов для их решения уже не столь существенна. В действительности дело обстоит иначе, поскольку потребности эволюции, как правило, ставят перед наукой задачи, находящиеся на грани ее возможностей. Расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, геологии, географии, психологии, экологии, метеорологии, медицины и др. Суть математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в разработке методов их исследования.

В физике, например, построение математических моделей для описания различных явлений и изучение этих моделей с целью объяснения старых или предсказания новых эффектов являются традиционными.

Однако в целом работа в этом направлении зачастую продвигалась относительно медленно, поскольку обычно не удавалось получить решение возникающих математических задач и приходилось ограничиваться рассмотрением простейших моделей. Применение ЭВМ и расширение математического образования резко увеличило возможности построения и исследования математических моделей. Все чаще результаты рассчетов позволяют обнаруживать и предсказывать ранее никогда не наблюдавшиеся явления; это дает основание говорить о математическом эксперименте.

Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количества новых методов, и с помощью современных ЭВМ удалось успешно решить ряд важных научно-технических задач.

Достижения в области использования ЭВМ обусловлены сочетанием ряда существенных факторов:

1) увеличение быстродействия ЭВМ, расширение памяти, совершенствование структуры, снижение стоимости единицы памяти и арифметической операции;

2) разработка программных средст общения с ЭВМ, включающая создание операционных систем, языков программирования, библиотек и пакетов стандартных программ, снижение требований (в случае персональных ЭВМ) к математической и программистской культуре;

3) рост понимания процессов и явлений науки, техники, природы и общества, создание их математических моделей;

4) совершенствование методов решения традиционных математических и прикладных задач и создание методов решения новых задач;

5) рост понимания возможностей применения ЭВМ среди широких слоев общества; распространение так называемой компьютерной грамотности; координация усилий специалистов разного профиля по использованию вычислительной техники.

Просмотр методов решения сложных прикладных задач показывает, что, как правило, эффект, достигаемый за счет совершенствования численных методов, по порядку сравним с эффектом, достигаемым за счет повышения производительности ЭВМ. Можно сказать, что эффект от применения новых численных методов при решении прикладных естественнонаучных задач дает 40% общего эффекта, достигаемого за счет применения новой вычислительной техники и новых численных методов. Для иллюстрации рассмотрим пример. Решение дифференциальных уравнений в частных производных сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицей, в каждой строке которой имеется 5-10 ненулевых элементов. Накануне появления ЭВМ такие системы уравнений решали в случае числа неизвестных порядка 10-100; сейчас решаются СЛАУ с числом неизвестных порядка 10⁵-10⁶. В гипотетическом случае решения этих задач на современных ЭВМ методами, известными 30 лет назад, пришлось бы ограничиться СЛАУ с числом неизвестных порядка 10³-10⁴ (при тех же затратах времени ЭВМ). Конечность скорости распространения сигнала – 300000 км/с – ставит уже сейчас существенное ограничение на возможный рост быстродействия однопроцессорных ЭВМ, поэтому значение дальнейшего развития теории численных методов трудно переоценить. В частности, становится все более актуальной проблема разработки численных методов и программных средств для многопроцессорных ЭВМ.

Быстрое проникновение математики во многие области знания, в частности, объясняется тем, что математические модели и методы их исследования применимы сразу ко многим явлениям, сходным по своей формальной структуре. Часто математическая модель, описывающая какое-либо явление, появляется при изучении других явлений или при абстрактных математических построениях задолго до конкретного рассмотрения данного явления. В частности, и в теории численных методов, так же как в «чистой» математике, полезна разработка общих построений. Однако есть разница в подходе «чистого» и «прикладного» математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие «решить задачу» означает доказать существование решения и предложить процесс, сходящийся к решению.Сами по себе эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс получения решения не требовал больших затрат, например, времени или памяти ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится. При численном решении задач возникают также новые вопросы, связанные с устойчивостью результата относительно возмущений исходных данных и округлений при вычислениях.

Применение численных методов и ЭВМ к решению естественнонаучных задач оказывает влияние и на традиционные разделы математики. Развитие как теоретических, так и прикладных разделов математики в конечном счете определяется потребностями общества и его материальным вкладом в развитие науки. Несколько десятилетий назад отношение вложений в науку к общим вложениям в народное хозяйство составляло доли процента. Сейчас в индустриально развитых странах это отношение настолько велико, что его дальнейший существенный рост невозможен. Поэтому происходит перераспределение вложений в различные направления науки. Это обуславливает еще один канал влияния прикладной стороны математики на развитие ее теоретических разделов. Прикладные исследования имеют непосредственную отдачу; это усиливает доверие общества к математике, расширяет понимание ее проблем и, как следствие, способствует увеличению вложения средств с целью ее развития.

Некоторые вопросы общего характера, важные для работы в области приложений математики:

1. Первостепенное значение имеет выбор направления исследования. При этом в пределах имеющихся возможностей полезно иметь ввиду следующее «правило трех частей»: проблемы делятся на І – легкие, ІІ – трудные, ІІІ – очень трудные. Проблемами І заниматься не стоит, они будут решены в ходе событий, проблемы ІІІ вряд ли удастся решить в настоящее время, поэтому стоит обращаться к проблемам ІІ.

2. Нужно уметь сформулировать на языке математики конкретные задачи физики, астрономии, медицины и т.д., т.е. построить математическую модель рассматриваемого явления.

Исследователь, умеющий правильно формулировать – ставить – новые задачи, ценится выше, чем исследователь, умеющий решать кем-то поставленные задачи. Правильное формулирование задачи – это научная проблема, не менее сложная, чем само решение задачи. При постановке проблемы первостепенное внимание должно быть уделено выяснению цели исследования; принимаемая математическая модель явления не есть что-то однозначное, она зависит от цели исследования. Необходимо учитывать, что производимая работа часто носит исследовательский характер, трудно заранее предсказать, что и в какой форме следует получить, на каком пути следует искать численное решение задачи.цель исследования и описание проблемы обычно уточняются в процессе контактов представителей конкретных наук или руководства организаций (заказчиков) и математиков (исследователей или исполнителей).

3. Успех в прикладной науке требует широкой математической подготовки, поскольку только такая подготовка может обеспечить приспособляемость к непрерывно меняющимся типам задач, предъявляемых к решению. Одной из причин необходимости изучения на первый взгляд «бесполезных» для практики разделов математики является достижение более уверенного и более свободного владения «нужными» разделами математики, а кроме того, ни один из исследователей математиков-прикладников не может заранее определить границы области знаний, которые потребуются ему в процессе практической работы.

4. Совершенное знание математики, численных методов, навыки работы с ЭВМ не всегда позволяют сразу решить любую прикладную задачу. Во многих случаях требуется «доводка» методов, приспособление их к решению конкретных задач. При этом типична обстановка, когда используются методы, применение которых теоретически не обосновано, или теоретические оценки погрешности численного метода неприемлемы для практического использования; при выборе метода решения задачи и анализе результатов приходится полагаться на опыт предшествующего решения задач, на интуицию и сравнение с экспериментом и при этом приходится отвечать за достоверность результатов. Поэтому для успеха в работе необходимы развитое неформальное мышление, умение рассуждать по аналогии, дающие основание ручаться за достоверность результата там, где с позиций логики и математики, вообще говоря, ручаться нельзя.

При численном решении клонкретных трудных задач, возникающих в других областях знаний, математик действует как естествоиспытатель, полагаясь во многом лишь на опыт и «правдоподобные» рассуждения. Крайне желательно, чтобы такая эмпирическая работа подкреплялась теоретическими разработками методов, проверкой качества методов на контрольных задачах с известным решением или частным сравнением с экспериментом. При длительном продвижении в каком-то направлении без такого подкрепления может теряться перспектива работы, уверенность в правильности получаемых результатов.

5. После завершения расчетов наступает этап использования результатов вычислений в практической деятельности – этап внедрения результатов. Подготовка к использованию результатов начинается уже с анализа постановки задачи и в процессе ее решения и, по существу, все моменты решения задачи и внедрения результатов неразрывно связаны между собой; в процессе формулирования задачи и ее решения заказчик и исполнитель взаимно уточняют постановку задачи и тем самым подготавливают почву для приложения полученных результатов.

Большое значение имеет наглядность, доступность представления заказчику промежуточных и окончательных результатов исследования: таблицы, графики, вывод информации на экран.

6. существенным моментом в прикладной работе является необходимость получения результатов в установленный срок. Заказчик, для которого проводятся исследования, расчеты, часто ограничен сроком завершения исследований и принятия решения на их основе. Если исследования не будут завершены к сроку, то решение все равно будет принято, но на основе более грубого, эмпирического или просто «волевого» подхода. Потерянное в таком случае доверие со стороны заказчика часто бывает невозможно восстановить.

В такой ситуации лучше найти по возможности удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем получить полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бесполезным. Поэтому, в частности, целесообразно начинать исследование новых задач с рассмотрения простейших моделей, применяя при численном решении испытанные методы.

7. Существенным моментом в прикладной работе является то обстоятельство, что работа, как правило, проводится коллективом. Одна из причин этого состоит в том, что построение математической модели, выбор метода решения, непосредственное общение с ЭВМ и анализ результатов требуют различных знаний и квалификации. Другая причина – необходимость решения задачи в установленный срок. Это требование приводит к необходимости распараллеливания даже однотипной работы между большим числом исполнителей, например, путем независимого написания различных блоков программы отдельными исполнителями. Параллельно могут идти отработка различных методов на модельных задачах, обсчет упрощенных моделей, подготовительная работа по написанию окончательной программы решения задачи.

Можно привести много реальных примеров неудачного решения больших вычислительных задач и работ по созданию программного обеспечения, вызванных следующей причиной. Распределение обязанностей между исполнителями не было в достаточной степени формализовано, т.е. не было выдано однозначного описания окончательного результата работы каждого исполнителя. В результате основная доля времени уходила на непрерывное согласование отдельных частей работы, или после истечения существенного промежутка времени оказывалось, что эти части работы не стыкуются. Поэтому организаторские способности человека, осуществляющего общее руководство решением задачи, зачастую не менее важны, чем его математические способности.

Предмет и метод вычислительной математики

Область математики, которая призвана разрабатывать методы доведения до числового результата основных задач математического анализа, алгебры, геометрии и т.д. и пути использования для этой цели современных вычислительных средств, называется вычислительной математикой.

Большинство задач математики могут быть записаны в виде:

, (1)

где , - заданные пространства, - некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании по заданному , либо в отыскании по заданному .

Далеко не всегда с помощью средств современной математики удается точно решить эти задачи, применяя конечное число шагов. В этих случаях прибегают к вычислительной математике, в задачи которой входит и разработка приемов и методов наиболее рационального решения конкретных задач.

Одним из основных методов, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные задачи, является замена пространств и функции некоторыми другими пространствами и функцией , более удобными для вычислительных целей. Иногда бывает достаточно произвести замену или даже одного из них. Иногда достаточно заменить только функцию . Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи

(2)

где , было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи (1) и его возможно было бы практически отыскать с сравнительно небольшими трудностями.

Например, пусть необходимо вычислить интеграл Римана , где - произвольная непрерывная на сегменте функция (т.е. она интегрируема по Риману на ), но первообразная для нее в элементарных функциях не берется. В обозначения задачи (1): исходные данные – функция , она принадлежит пространству непрерывных на функций - , т.е. . По функции нужно определить число , , т.е. . Функция, которая исходным данным ставит в соответствие числовой результат, это функция интегрирования по Риману на , т.е. в обозначениях (1): . Для решения этой задачи возможны 2 пути:

1. Заменить функцию алгебраическим многочленом равномерно приближающим функцию на с необходимой степенью точности (рис.1) (как будет показано позже, это можно сделать). Затем вместо находится , вычисление которого не составляет труда. Конечно

,

но если , то .

Произведенная замена исходной задачи включает в себя только замену пространства исходных данных на - пространство многочленов: вместо функции для интегрирования берется многочлен из некоторой ее окрестности.

Рис.1.

2. Из определения следует, что всегда можно построить интегральную сумму

,

которая будет достаточно близка к значению интеграла (рис.2): .

Рис.2.

Таким образом задача вычисления интеграла заменена на другую задачу – вычисления конечной суммы, а это значит, что при неизменности пространств произошла замена функции новой функцией .

Задание 1.1. Привести примеры задач, для решения которых используется метод замены.