Выводы и рекомендации по работе. Должны содержать заключение о значимости коэффициентов регрессии, уравнение регрессии и заключение о его адекватности поверхности отклика исследуемого

Должны содержать заключение о значимости коэффициентов регрессии, уравнение регрессии и заключение о его адекватности поверхности отклика исследуемого объекта.

Оформить результаты работы в виде отчета по лабораторной работе в соответствии с требованиями (см. стр. 5).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие задачи решает теория планирования эксперимента? Какие требования предъявляются к объектам, факторам и параметрам оптимизации в планировании эксперимента?

2. В чем сущность планирования эксперимента? Дайте определение факторному пространству. Поясните разницу между активным и пассивным экспериментом.

3. Что дает полный факторный эксперимент, и с какой целью вводят новые переменные? В чем сущность и цели стандартизации масштаба факторов?

4. Как выбрать уровни варьирования факторов?

5. В чем сущность рандомизации?

6. Что собой представляет математическое и геометрическое описание объекта в трехфакторном эксперименте?

7. Как составляется и какими свойствами обладает матрица планирования ПФЭ?

8. Что такое взаимодействие факторов, что они дают и сколько их в ПФЭ?

9. Каков порядок постановки опытов при ПФЭ?

10. Как проверить воспроизводимость опытов?

11. Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?

12. Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов регрессии?

13. Как проверить адекватность полученной математической модели?

14. Какими правилами руководствуются, проводя анализ уравнения регрессии и исследуемых параметров оптимизации?

Лабораторная работа №5

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ ДРОБНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы: изучение основ теории планирования эксперимента, приобретение навыков построения матрицы планирования и математической модели исследуемых объектов с помощью дробного факторного эксперимента.

Задание:1. Изучить особенности планирования эксперимента методом дробных реплик;

2. Получить адекватное уравнение регрессии, с помощью дробного факторного эксперимента, описывающее влияние факторов на качество конкретной продукции в соответствии с заданием.

Основные сведения

Количество опытов в ПФЭ быстро растет с увеличением числа факторов и значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели, что свидетельствует о большой избыточности опытов ПФЭ. Для уменьшения числа опытов из множества точек факторного пространства может быть отобрана их некоторая часть, содержащая подходящее число опытов и представляющая собой план дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Геометрическое изображение трансфор-мации плана ПФЭ типа 2³ в план ДФЭ типа 2^3-1 представлено на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Графическое изображение планов ПФЭ и ДФЭ в факторном пространстве: а – методом проекции на три плоскости; б – по четырем точкам, не лежащим в одной плоскости

План ПФЭ 2³ имеет вид куба с восьмью вершинами (точками плана), а возможные планы ДФЭ типа 2^3-1 имеют вид проекций этого куба на плоскости, то есть из восьми точек куба выбираются четыре (рис. 5.1 а). Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и построить план ДФЭ типа 2^3-1 (рис. 5.1 б).

Дробным факторным экспериментом называется система опытов, представляющая собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитать коэффициенты уравнения регрессии и сократить объем экспериментальных данных.

Дробный факторный эксперимент, как и ПФЭ, позволяет исследовать полиномиальные математические модели (ММ) вида:

y = b₀ + b ₁x₁ + b₂x₂ +…+b _пx_п + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃+… + b _п–1,п x_п–1x_п

Число оцениваемых коэффициентов ММ и число проводимых в эксперименте опытов связано с понятием насыщенности эксперимента. Если число проводимых опытов превышает число оцениваемых коэффициентов, то эксперимент называется ненасыщенным, если равно – насыщенным.

Для нахождения математического описания процесса используются определённые части ПФЭ: ½; ¼; 1/8; 1/16 и т.д. Эти системы опытов называются дробными репликами, а сам метод ДФЭ – методом дробных реплик. Возможные дробные реплики от ПФЭ типа 2⁴ представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1. Возможные дробные реплики от ПФЭ типа 2⁴

№	Факторы	Yj	Дробные реплики
Х0	Х1	Х2	Х3	Х4
	+	-	-	-	-	у1	1/8	1/4	1/2
	+	+	-	-	-	у2
	+	-	+	-	-	у3	1/8
	+	+	+	-	-	у4
	+	-	-	+	-	у5	1/8	1/4
	+	+	-	+	-	у6
	+	-	+	+	-	у7	1/8
	+	+	+	+	-	у8
	+	-	-	-	+	у9	1/8	1/4	1/2
	+	+	-	-	+	у10
	+	-	+	-	+	у11	1/8
	+	+	+	-	+	у12
	+	-	-	+	+	у13	1/8	1/4
	+	+	-	+	+	у14
	+	-	+	+	+	у15	1/8
	+	+	+	+	+	у16

Матрица ДФЭ типа 2^4-1 из восьми опытов для четырех факторного планирования будет полурепликой от ПФЭ типа 2⁴, а для пятифакторного планиро­вания – четверть репликой от 2⁵. В последнем случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимо­действия. Для обозначения дробных реплик, в которых p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, вводится обозначение 2^k-p,где р –число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия, k-pявляется показателем дробности плана ПФЭ.

Так, при р=1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем в плане ПФЭ, и поэтому такие планы называются полуреплика плана ПФЭ 2³. Они записываются в виде 2^3-1. При р=2 число опытов сокращается в четыре раза и такие планы называются четверть-реплика. Например, плана ПФЭ 2⁵ имеет 32 опыта, а в плане ДФЭ в виде четверть-реплики, число опытов сокращается до восьми и она записывается как 2^5-2. При р=3 для ДФЭ 2^6-3, число опытов сокращается с 64 до 8. Условные обозначения дробных реплик и количество опытов представлены в таблице 5.2.

Таблица 5.2 Условные обозначения дробных реплик и количество опытов

Число факторов	Дробная реплика	Условное обозначение	Число опытов
для дробных реплик	для полного факторного эксперимента
	1/2 – реплика от 23	23–1
	1/2 – реплика от 24	24–1
	1/4 – реплика от 25	25–2
	1/8 – реплика от 26	26–3
	1/16 – реплика от 27	27–4
	1/2 – реплика от 25	25–1
	1/4 – реплика от 26	26–2
	1/8 – реплика от 27	27–3
	1/16– реплика от 28	28–4
	1/32-реплика от 29	29–5
	1/64-реплика от 210	210–6
	1/128-реплика от 211	211–7
	1/256-реплика от 212	212–8
	1/512-реплика от 213	213–9
	1/1024-реплика от 214	214–10
	1/2048-реплика от 215	215–11

При выборе дробности р необходимо учитывать, что число опытов (2^k-p)должно быть больше числа членов уравнения (k+1), т.е. должно соблюдаться условие:

k+1 ≤ 2^k-p(5.1)

Способ сокращения числа экспериментов можно сформулировать в виде общего правила. Чтобы сократить число опытов, нужно дополнительно вводимый в эксперимент фактор варьировать как вектор–столбец матрицы, соответствующий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда изменение уровней нового фактора определится знаками этого вектор–столбца.

Выбранное для дополнительного фактора взаимодействие (произведение)называется генерирующее соотношение или генератором плана. ДФЭ типа 2^k-p будет иметь р генераторов.

Рассмотрим правила построения плана ДФЭ полуреплики типа 2^3-1 от ПФЭ 2³, где k=3 (число факторов), р=1 (число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия), N=4 (число опытов). План ДФЭ полуреплики типа 2^3-1 имеет вид (табл. 5.3).

Таблица 5.3. План ДФЭ типа 23-1

№ опыта x0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 + - – + + – – + + + – – - – + + + - + – - + – + + + + + + + + +

Первые два фактора x₁ и x₂ варьируем, как и в ПФЭ типа 2², а для третьего фактора выбираем генерирующее соотношение в виде x₃= x₁x₂

Для полинома:

y = b ₀ + b ₁x₁ + b ₂x₂ + b ₃x₃ + b ₁₂x₁x₂ + b ₁₃x₁x₃+ b ₂₃x₂x₃+ b ₁₂₃ x₁x₂ x₃

количество столбцов плана составляет восемь.План является ортогональным, но в нем оказались четыре пары одинаковых столбцов: 1 и 8; 2 и 7; 3 и 6; 4 и 5. Поэтому можно определить не восемь, а только четыре коэффициента, отражающие совместное влияние двух одинаковых столбцов:

(5.2)

Суммарные значения коэффициентов b₁ + b₂₃ , b₂ + b₁₃ , b₃ + b₁₂ определяются аналогично. Это следствие попытки определить полное количество коэффициентов (8) по недостающему числу опытов (4). Однако если заранее известно, что некоторые из членов уравнения равны нулю или пренебрежительно малы или имеется априори информация о величинах некоторых коэффициентов, то они могут быть вычленены, т.е. исключены.

Так, если b ₁₂₃=0, то

(5.3)

Если можно допустить, что коэффициенты из их смешанной оценки сопоставимы, то для рассматриваемого плана

(5.4)

Достоинством планов ДФЭ является то, что если построенный на его основе полином не удовлетворяет требованиям по точности, то план ДФЭ легко достраивается до плана ПФЭ, без потери информации о прежних опытах, с формированием более точного уравнения регрессии.

При построении полуреплик ДФЭ типа 2^3-1 существует всего две возможности: приравнять х₃ к (+x₁x₂)или к (–x₁x₂). Поэтому можно построить только две полуреплики 2^3-1 (табл. 5.4).

Таблица 5.4. Две полуреплики ДФП 2^3-1 от ПФЭ 2²

№ опыта	x1	x2	x3	x1x2x3
	+	+	+	+
	–	–	+	+
	+	–	–	+
	–	+	–	+

№ опыта	x1	x2	x3	x1x2x3
	+	+	–	–
	–	–	–	–
	+	–	+	–
	–	+	+	–

или

Для произведения трех столбцов первой матрицы выполняется соотношение: +1= x₁x₂x₃, а для второй матрицы: -1=x₁x₂x₃.

Символическое обозначение произведения столбцов, равного (+1) или (–1), называетсяопределяющим контрастом.

Контраст помогает определять сме­шанные эффекты. Для того, чтобы определить, какие эффекты смешаны в анализируемом эффекте, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.

Так, если +1= x₁x₂x₃, то для x₁ имеем x₁=x₁² x₂x₃= x₂x₃, так как всегда x₁² =1. Для x₂ находим x₂=x₁ x₂² x₃= x₁x₃, для x₃ находим x₃=x₁ x₂x₃²= x₁x₂.

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками

b₁=β₁ + β ₂₃ , b₂= β ₂ + β ₁₃ , b₃= β ₃ + β ₁₂.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы принято обозначать: .

В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разрешающей способности ДФЭ. Так если для ДФЭ типа 2^4-1 в качестве генератора плана выбрано x₄= x₁x₂ x₃ (контраст соответственно 1=x₁x₂x₃x₄), то говорят, что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератор x₄= x₁x₂ и контраст 1 = x₁x₂ x₄, то разрешающая способность равна 3.

Генератор плана с наибольшей разрешающей способностью называют главным и ему отдают предпочтение.

Если вводится не один, а несколько дополнительных факторов, то мы получаем несколько генераторов плана (для каждого дополнительного фактора свой). В этом случае для определения смешанности оценок коэффициентов используют обобщающий контраст, который состоит из отдельных контрастов, а также их произведений во всевозможных сочетаниях.

При построении полуреплики 2^4-1 возможны восемь реше­ний для x₄:

1. x₄= x₁x₂, 2. x₄= -x₁x₂, 3. x₄= x₂x₃, 4. x₄= -x₂x₃,

5. x₄= x₁x₃, 6. x₄= -x₁x₃, 7. x₄= x₁x₂ x₃, 8. x₄= -x₁x₂ x₃.

Разрешающая способность этих полуреплик различна. Так, реплики 1–6 имеют по три фактора в определяющем контрасте, а 7–8 по четыре. Реплики 7 и 8 имеют максимальную разрешающую способность и называются главными.

Разрешающая способность задается системой смешивания данной реплики. Она будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка.

При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные. Если существует информация об эффектах взаимо­действия, то она должна использоваться при выборе реплики.

Реплики, в которых нет ни одного главного эффекта, смешанного с другим главным эффектом или парным взаимодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с другом, носят название планов с разрешающей способностью IV (по наибольшему числу факторов в определяю­щем контрасте). Они имеют обозначение . Такие полуреплики называют главными полурепликами, так как они обладают наибольшей разрешающей спо­собностью.

Допустим, что мы полуреплику 2^4-1 задали генерирующим соотношением x₄=x₁x₂x₃. Определяющим контрастом полуреплики является соотношение: 1= x₁x₂x₃x₄.

Тогда совместные оценки коэффициентов уравнения регрессии будут определяться следующим образом:

x₀ = x₁x₂x₃x₄ b₀= β ₀ + β ₁₂₃₄

x₁ = x₂x₃x₄ b₁= β ₁ + β ₂₃₄

x₂ = x₁x₃x₄ b₂= β ₂ + β ₁₃₄

x₃ = x₁x₂x₄ b₃= β ₃ + β ₁₂₄

x₄ = x₁x₂x₃ b₄= β ₄ + β ₁₂₃

x₁x_{2 =}x₃x₄ b₁₂= β ₁₂ + β ₃₄

x₁x₃ =x₂x₄ b₁₃= β ₁₃ + β ₂₄

x₁x₄ =x₃x₂ b₁₄= β ₁₄ + β ₃₂

В практических задачах тройные и более высокого порядка взаимодействия значительно чаще, чем двойные - равны нулю, и ими обычно можно пренебречь. В этом случае раздельными оценками будут b₁,b₂, b₃, b₄, так как тройными взаимодействиями β ₂₃₄, β ₁₃₄, β ₁₂₄, β ₁₂₃ вследствие их незначительности можно пренебречь.

Тогда уравнение регрессии будет иметь вид:

y = b₀ + b ₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₁₂x₁x₂+ b₁₃x₁x₃+ b₁₄ x₁ x₄,

и число степе­ней свободы равно нулю, так как число коэффициентов регрессии равно число опытов в эксперименте.

При выборе полуреплики 2^5-1 в распоряжении экспериментатора имеется множество вариантов:

1. х₅ можно приравнять к одному из шести парных взаимодействий. В этом случае получим полуреплику с разрешающей способностью III. Очевидно, это будет не лучший выбор полуреплики;

2. х₅ можно приравнять к одному из четырех тройных взаимодействий. Тогда получим план с разрешающей способностью IV, и все линейные эффекты будут смешаны с тройными взаимодействиями;

3. полуреплика может быть задана генерирующими соотношениями x₅ = x₁x₂x₃x₄ или x₅ =- x₁x₂x₃x₄.

Определяющими контрастами в этом случае будут +1=x₁x₂x₃x₄x₅ и -1=x₁x₂x₃x₄x₅. Такие реплики носят название планов с разрешаю­щей способностью V и обозначаются .

Полурепликами 2^6-1 редко пользуются на практике. Ведь полуреплика 2^6-1 требует 32 опыта, а для экспериментатора выгодны планы 2^6-2 или 2^6-3 требую­щие соответственно 16 и 8 опытов. Поэтому с ростом числа факторов возрастает дробность применяемых реплик.

Заметим, что при построении главных полуреплик в определяющий контраст надо включать наибольшее число факторов.

При оценивании параметров функции отклика используются также и реплики более высокой дробности. Система смешения линейных эффектов и эффектов взаимодействий между собой получается более сложной, чем при применении полуреплик. Для нахождения системы смешивания строятся обобщенные определяющие контрасты: для этого исходные контрасты перемножаются сначала попарно, получаются контрасты первого уровня. Затем контрасты первого уровня снова перемножаются попарно, получаются контрасты второго уровня и так до тех пор, пока не будет исчерпана возможность перемножения контрастов.

Обобщающий определяющий контраст составляется путем перечисления выражений для всех сформированных контрастов.

Рассмотрим пример построения 1/4-реплики 2^5-2. При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 32 опыта, а только 8, т. е. воспользоваться репликой 2^5-2. Здесь возможны двенадцать решений, если х₄ приравнять парному взаимодействию, а х₅ – тройному.

x₄=x₁x₂=x₁x₃=x₁x₄=x₁x₅=x₂x₃=x₂x₄=x₂x₅=x₃x₄=x₃x₅=x₄x₅;

x₅=x₁x₂x₃=x₂x₃x₄=x₃x₄x₅=x₁x₃x₄=x₁x₄x₅=x₁x₃x₅=x₂x₄x₅ и т.п.

Допустим, выбран вариант генерирующих соотношений x₄=x₁x₃ и x₅=x₁x₂x₃. Тогда определяющими контрастами являются 1=x₁x₃x₄ и 1=x₁x₂x₃x₅.

Если перемножить эти определяющие контрасты, то получится третье соотношение, задающее элементы столбца 1=x₂x₄x₅.

Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст:

1=x₁x₃x₄=x₁x₂x₃x₅=x₂x₄x₅

Система смешивания оценок определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₁х₂, х₁х₅.

x₁ = x₃x₄=x₂x₃x₅=x₁ x₂x₄x₅ b₁= β ₁ + β ₃₄ + β ₂₃₅ + β ₁₂₄₅

x₂ = x₁ x₂x₃x₄=x₁x₃x₅=x₄x₅ b₂= β ₂ + β ₁₂₃₄ + β ₁₃₅ + β ₄₅

x₃ = x₁x₄=x₁x₂x₅=x₂ x₃x₄x₅ b₃= β ₃ + β ₁₄ + β ₁₂₅ + β ₂₃₄₅

x₄ = x₁x₃=x₁x₂x₃ x₄x₅=x₂x₅ b₄= β ₄ + β ₁₃ + β ₁₂₃₄₅ + β ₂₅

x₅ = x₁x₃x₄ x₅=x₁x₂x₃=x₂x₄ b₅= β ₅ + β ₁₃₄₅ + β ₁₂₃ + β ₂₄

x₁x_{2 =} x₂x₃x₄=x₃x₅= x₁x₄x₅ b₁₂= β ₁₂ + β ₂₃₄ + β ₃₅ + β ₁₄₅

x₁x₅= x₃x₄ x₅=x₂x₃= x₁x₂x₄ b₁₅= β ₁₅ + β ₃₄₅ + β ₂₃ + β ₁₂₄

Получается довольно сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Если, например, коэффициенты:

b₁₂ = β ₁₂ + β ₂₃₄ + β ₃₅ + β ₁₄₅ и b₁₅= β ₁₅ + β ₃₄₅ + β ₂₃ + β ₁₂₄,

отличаются от нуля, то возникают сомнения, можно ли пренебрегать другими парными взаимодействиями, с которыми смешаны линейные эффекты. Тогда следует поставить вторую серию опытов, выбрав нужным образом другую 1/4-реплику.

При этом можно воспользоваться методом «перевала». Смысл этого метода заключается в том, что вторая четверть-реплика получается из первой путем изменения всех знаков матрицы на обратные.

Тогда в обобщающем определяющем контрасте тройные произведения имеют знак, противоположный их знаку в первой четверть-реплике. Тройные произведения определяют парные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов. Усредняя результаты обеих четверть-реплик, можно полу­чить линейные эффекты, не смешанные с парными взаимодействиями.

Реплики большой дробности.При выборе 1/8-реплики 2^6-3 можно воспользоваться вектор-столбцами трех взаимодействий, например, таких:

1. x₄ = x₁x₂, x₅ = x₁x₃, x₆ = x₂x₃;

2. x₄ = x₁x₃, x₅ = x₂x₃, x₆ = x₁x₂x₃;

3. x₄ = x₁x₂, x₅ = x₂x₃, x₆ = x₁x₂x₃;

4. x₄ = x₁x₂, x₅ = x₁x₃, x₆ = x₁x₂x₃;

Для каждого из этих решений можно сделать шесть перестановок. Итого получается 24 возможности выбора 1/8-реплики. Это при условии, что мы всюду выбираем положительные генерирующие соотношения.

Из четырех приведенных выше решений наименее удачно первое, поскольку все линейные эффекты смешиваются с парными взаимодействиями. Если априори известно, что из всех взаимодействий наиболее существенно х₁х₂, то нужно выбрать второе решение, если х₁х₃ – третье, а если х₂х₃ – четвертое.

Допустим, мы избрали четвертое решение, предполагая, что из факторов х₄, х₅, х₆ наиболее существенным является х₄. Приравняем х₄тройному взаимодействию и запишем генерирующие соотношения:

x₄ = x₁x₂x₃, x₅ = x₁x₂, x₆ = x₁x₃.

имеем следующие определяющие контрасты:

1= x₁x₂x₃x₄, 1= x₁x₂x₅, 1= x₁x₃x₆.

Если попарно перемножить эти определяющие контрасты (помним, что x_i² =1), то получим: 1= x₃x₄x₅, 1= x₂x₄x₆, 1= x₂x₃x₅x₆.

Тогда произведение трех определяющих контрастов равно

1= x₁x₄x₅x₆.

Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность данной 1/8-реплики, запишем обобщающий определяющий контраст:

1= x₁x₂x₃x₄= x₁x₂x₅= x₁x₃x₆= x₃x₄x₅= x₂x₄x₆= x₂x₃x₅x₆= x₁x₄x₅x₆.

Получается следующая система смешивания (эффекты выше второго порядка опущены):

x₁ = x₂x₅=x₃x₆=x₂ x₃x₄= x₄x₅x₆ b₁= β ₁ + β ₂₅ + β ₃₆ + β ₂₃₄+ β ₄₅₆;

x₂ = x₁ x₅=x₄x₆=x₁x₃x₄= x₃x₅x₆ b₂= β ₂ + β ₁₅ + β ₄₆ + β ₁₃₄+ β ₃₅₆;

x₃ = x₁x₆=x₄x₅=x₁x₂x₄= x₂x₅x₆ b₃= β ₃ + β ₁₆ + β ₄₅ + β ₁₂₄+ β ₂₅₆;

x₄ = x₃x₅=x₂x₆=x₁x₂x₃= x₁x₅x₆ b₄= β ₄ + β ₃₅ + β ₂₆ + β ₁₂₃+ β ₁₅₆;

x₅ = x₁x₂=x₃x₄=x₂x₃x₆= x₁x₄x₆ b₅= β ₅ + β ₁₂ + β ₃₄ + β ₂₃₆+ β ₁₄₆;

x_{6 =} x₁x₃=x₂x₄= x₂x₃x₅= x₁x₄x₅ b₆= β ₆ + β ₁₃ + β ₂₄ + β ₂₃₅+ β ₁₄₅.

Тогда уравнение регрессии будет иметь вид:

y = b₀ + b ₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₅x₅+ b₆x₆,

и число степе­ней свободы равно нулю.

Рассмотрим пример 1/16-реплики от 2^7-4. 1/16 часть от полного факторного эксперимента 2^7-4 дает возможность сократить число опытов до 8 вместо 128.

Выберем следующие генерирующие соотношения:

x₄ = x₁x₂, x₅ = x₁x₃, x₆ = x₂x₃, x₇ = x₁x₂x₃.

Для них имеем следующие определяющие контрасты:

1= x₁x₂ x₄, 1= x₁x₃ x₅, 1 = x₂x₃ x₆, 1= x₁x₂x₃ x₇.

В результате попарного перемножения исходных контрастов, затем – умножения по три и по четыре получим обобщающий определяющий контраст вида:

1= x₁x₂ x₄= x₁x₃ x₅ = x₂x₃ x₆= x₁x₂x₃ x₇= x₂x₃ x₄ x₅= x₁x₃ x₄ x₆ = x₃x₄ x₇= x₁x₂x₅ x₆= =x₂ x₅x₇= x₁x₆ x₇ = x₄x₅ x₆= x₁x₄x₅ x₇ =x₂ x₄ x₆ x₇= x₃x₅ x₆ x₇ = x₁x₂x₃ x₄ x₅x₆ x₇.

Если всеми коэффициентами взаимодействия, начиная с тройных, можно пренебречь, то коэффициенты будут совместными оценками:

x₁ = x₂x₄=x₃x₅=x₆ x₇ b₁= β ₁ + β ₂₄ + β ₃₅ + β ₆₇;

x₂ = x₁ x₄=x₃x₆= x₅x₇ b₂= β ₂ + β ₁₄ + β ₃₆ + β ₅₇;

x₃ = x₁x₅=x₂x₆=x₄x₇ b₃= β ₃ + β ₁₅ + β ₂₆ + β ₄₇;

x₄ = x₁x₂=x₅x₆=x₃x₇ b₄= β ₄ + β ₁₂ + β ₅₆ + β ₃₇;

x₅ = x₁x₃=x₄x₆=x₂x₇ b₅= β ₅ + β ₁₃ + β ₄₆ + β ₂₇;

x_{6 =} x₂x₃=x₄x₅= x₁x₇ b₆= β ₆ + β ₂₃ + β ₄₅ + β ₁₇;

x_{7 =} x₃x₄=x₂x₅= x₁x₆ b₇= β ₇ + β ₃₄ + β ₂₅ + β ₁₆.

Разрешающая способность такой реплики чрезвычайно мала, так как каждый линейный эффект определяется совместно с тремя парными взаимодействиями. Такой репликой можно пользоваться только в том случае, если все парные взаимодействия равны нулю. Матрицу планирования для этой реплики можно получить из первой реплики, изменив в ней все знаки на обратные. Такая реплика задается генерирующими соотношениями:

x₄ = -x₁x₂, x₅ =- x₁x₃, x₆ = -x₂x₃, x₇ =- x₁x₂x₃.

В обобщающем определяющем контрасте все тройные произведения оказываются со знаком минус, а, следовательно, в совместных оценках для линейных эффектов не будет парных взаимодействий со знаком плюс. Усредняя результаты вычислений для таких двух реплик, можно получить раздельные оценки для всех линейных эффектов. Таким образом, экспериментатор должен сам установить, какие несмещенные оценки его интересуют, и какой дробности реплик допускается использовать для получения оценок.

С ростом числа факторов увеличивается дробность реплик и усложняется система смешивания. Предельное число факторов для восьми опытов – семь. В этом случае оценивается восемь коэффициентов линейного уравнения:

y = b ₀ + b ₁x₁ + b ₂x₂ + b ₃x₃ + b ₄x₄ + b ₅x₅+ b ₆x₆+ b ₇ x₇,

и число степеней свободы равно нулю.

При числе факторов от 9 до 15 приходится ставить 16 опытов. При построении дробных планов для числа факторов от 16 до 31 необходимо ставить 32 опыта, а для числа факторов от 32 до 63 необходимо 64 опыта и т. д. (табл. 5.2). План с предельным числом факторов для данного числа опытов и заданной модели называется насыщенным. В этом случае число опытов равно числу оцениваемых коэффициентов. Все рекомендации для выбора системы сме­шивания аналогичны рассмотренным выше примерам.

При ДФЭ стандартизация масштабов факторов, порядок постановки опытов, проверка воспроизводимости опытов, расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения и проверка их статистической значимости, проверка адекватности полученной математической модели производится так же, как и при ПФЭ. Однако необходимо учитывать, что для насыщенного и сверхнасыщенного экспериментов невозможна проверка адекватности ММ, так как для нее уже не остается степеней свободы.

Методические рекомендации

1. В соответствии с индивидуальным заданием необходимо перейти к стандартизированному масштабу факторов, составить матрицу планирования ДФЭ, используя результаты лабораторной работы №4, заменив столбцы взаимодействия новыми факторами, рандомизировать опыты.

2. Провести ДЭФ.

3. Проверить воспроизводимость опытов. Если дисперсии неоднородны, повторить эксперимент.

4. Рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

5. Проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

6. Проверить адекватность полученной математической модели.

7. Записать полученное уравнение регрессии и сделать вывод о влияние исследуемых факторов на качество продукции (параметр оптимизации).

Рассмотрим пример выполнения задания. Продолжим рассмотрение примера лабораторной работы №4 для ПФЭ. Воспользовавшись информацией, что взаимодействия факторов x₁x₂ и x₁x₃ оказались статистически незначимыми. Исследуем влияние на качество комплексных текстильных материалов дополнительных факторов: пористость мате-риалов и количество адгезива, и поставим для этой цели ДФЭ типа 2^5-2.

Условия проведения опытов сведем в табл. 5.5. Факторы x₁, x₂, x₃ остаются такими же, как в таблице 4.4 (см. лаб. работу №4), а для факторов x₄ и x₅ генераторами плана выберем взаимодействия и x₄= x₁x₂ и x₅=x₁x₃ (табл. 5.6).

По формуле Х_i = (x_i - x_oi) / dx_i, где i = 1, 2, …, n; dx_i – масштаб по оси Х_i. Величину Х_i называют кодированной переменной. Для каждого фактора выбираются два уровня – верхний x_{i max} и нижний x_{i min}, на которых фактор варьируется. Половина разности между верхним и нижним уровнями является интервалом варьирования dx_i.

Таблица 5.5. Основные характеристики плана эксперимента

Интервалы варьирования факторов	Факторы
Х1 = Т, температура, оС	Х2 = τ, время, сек	Х3=Р, давление, 10-2 МПа	Х4=П, пористость материалов, %	Х5=Мад, количество адгезива, г/м2
Х10
dxi
xi max
xi min

Выбираем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы Х_{i min} соответствовало (–1), а X_{i max} (+1).

Поставим серию из трех опытов в точках: Т=(130±30) ^оС, τ= (30±20) сек, Р=(5±2) 10^-2 МПа, П= (40±30) %, М_ад =(20±10) г/м².

Тогда определяющие контрасты будут соответственно 1=x₁x₂x₄ и 1=x₁x₃x₅, и их произведение 1=x₂x₃x₄x₅, а обобщающий определяющий контраст 1 = x₁x₂x₄ = x₁x₃x₅ = x₂x₃x₄x₅.

Найдем смешанность оценок:

x₁ = x₂x₄=x₃x₅= x₁x₂ x₃x₄x₅ b₁= β ₁ + β ₂₄ + β ₃₅ + β ₁₂₃₄₅= β ₁ + β ₂₄ + β ₃₅;

x₂ = x₁ x₄= x₁x₂x₃x₅=x₃x₄x₅ b₂= β ₂ + β ₁₄ + β ₁₂₃₅ + β ₃₄₅= β ₂ + β ₁₄;

x₃ = x₁x₂ x₃x₄ = x₁x₅ = x₂x₄x₅ b₃= β ₃ + β ₁₂₃₄ + β ₁₅ + β ₂₄₅= β ₃ + β ₁₅;

x₄ = x₁x₂ = x₁x₃ x₄x₅ = x₂x₃x₅ b₄= β ₄ + β ₁₂ + β ₁₃₄₅ + β ₂₃₅= β ₄ + β ₁₂;

x₅ = x₁x₂x₄ x₅ = x₁x₃ = x₂x₃x₄ b₅= β ₅ + β ₁₂₄₅ + β ₁₃ + β ₂₃₄= β ₅ + β ₁₃;

x₂x₃₌ x₁x₃x₄ = x₁x₂x₅ = x₄x₅ b₂₃= β ₂₃ + β ₁₃₄ + β ₁₂₅ + β ₄₅= β ₂₃ + β ₄₅;

x₁x₂x₃=x₃x₄ = x₂x₅ = x₁x₄x₅ b₁₂₃= β ₁₂₃ + β ₃₄ + β ₂₅ + β ₁₄₅= β ₃₄ + β ₂₅.

Учитывая, что тройными и более взаимодействиями β ₁₂₃₄₅; β ₁₂₃₅; β ₃₄₅; β₁₂₃₄; β₂₄₅; β ₁₃₄₅; β ₁₂₄₅; β ₂₃₅; β ₂₃₄; β ₁₃₄; β ₁₂₅; β ₁₂₃; β ₁₄₅, вследствие их незначительности можно пренебречь. В этом случае раздельными оценками будут b₁,b₂, b₃, b₄.

Тогда уравнение регрессии будет иметь вид:

y = b₀ + b ₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₅x₅+ b₂₃x₂x₃+ b₁₂₃x₁x₂x₃,(5.5)

и число степе­ней свободы равно нулю, так как число коэффициентов регресс равно число опытов в эксперименте.

Число опытов с 32 сократилось до 8. После составления матрицы планирования ДФЭ 2^5-2, 1/4 – реплики от ПФЭ 2³, и проведения рандомизированных опытов сведем полученные результаты в таблицу 5.6.

Таблица 5.6. Дробный факторный плантипа 2^5-2.

№ точки факторного пространства (Номер опыта), N	х1	х2	х3	х4 (х1х2)	х5 (х1х3)	х2х3	х1х2х3	у11	у12	у13	ỹ	Диспер-сия, SУ2	Gр	ΣS2в
1, (4), (2)	-	-	-	+	+	+	-	4,5	4,9	4,2	4,53	0,123	0,256	1,454
2, (2), (4)	+	-	-	-	-	+	+	5,9	6,3	6,5	6,23	0,09
3, (1), (6)	-	+	-	-	+	-	+	5,2	5,7	5,9	5,6	0,13
4, (7), (8)	+	+	-	+	-	-	-	12,4	12,1		12,5	0,21
5, (8), (1)	-	-	+	+	-	-	+	6,2	6,6	6,9	6,56	0,123
6, (3), (7)	+	-	+	-	+	-	-	10,4	10,7	9,8	10,63	0,373
7, (5), (3)	-	+	+	-	-	+	-	8,1	8,9	9,0	8,66	0,232
8, (6), (5)	+	+	+	+	+	+	+	5,6	5,8	6,4	5,93	0,173

Примечание: в скобках указаны номера рандомизированной последовательности в трех сериях опытов.

Из анализа матрицы планирования видно, что ДФЭ обладает свойствами:

ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных

где N- число опытов, i, j, m – номера факторов (переменных);

симметричности относительно центра эксперимента. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого, равна нулю:

нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для i-й переменной

.

Проведем статистическую обработку полученных результатов. Для проверки по критерию Кохрена воспроизводимости опытов для принятого уровня значимости a=0,05 вычислим в каждой точке факторного пространства среднее значение (по формуле 4.7) и дисперсию (по формуле 4.8) исследуемого параметра. Полученные результаты также заносим в таблицу 5.6.

Рассчитаем оценки коэффициентов регрессионного уравнения (5.5) и проверим их статистическую значимость по критерию Стьюдента (формула 4.15) при α=0,05. По критерию Фишера (4.17) проверим адекватность линейной, а затем нелинейной ММ при α=0,05.

Расчетное значение коэффициента Кохрена сравнивается с табличным значением G_табл – критерия, которое выбирается из таблиц для принятого уровня значимости a=0,05 и для чисел степени свободы соответственно числителя (по горизонтали) f₁ и знаменателя f₂ (по вертикали).

f₁=m –1=3-1=2; f₂ =N=8, где п – число параллельных опытов, N-число опытов в эксперименте, (m–1) – число степеней свободы, равное количеству параллельных опытов минус единица, т.к. одна степень свободы использована для вычисления среднего.

В соответствии с таблицей G_табл=0,816; G_т>G_p, т.е. условие выполняется. Следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий s_у² - однородными.

Коэффициенты регрессии рассчитываем по формулам 4.11.

Уравнение регрессии описывающее поверхность отклика имеет вид:

y = 7,33 + 1,24x₁ + 0,59x₂ + 0,37x₃ - 0,2x₄ – 1,4x₅ – 1,24x₂x₃- 1,5 x₁x₂ x₃

Определяем дисперсию воспроизводимости параллельных опытов S²_воспр:

S²_воспр =ΣS²_воспр/8 = 1,454/8 = 0,182.

Вычисляем дисперсию коэффициентов регрессии S_b:

S_b² = S²_воспр / N, где N - число опытов в эксперименте;

S_b² =0,182/8·=0,022, откуда S_b =0,15.

Статистическую значимость коэффициентов регрессии проверяем по критерию Стьюдента t. Коэффициенты регрессии значимы, если |b|≥ S_bt. Рассчитаем критерий Стьюдента t_р = |b_i| / S_b для всех коэффициентов регрессии: b₀ =7,33; b₁ =1,24; b₂ =0,59; b₃ = 0,37; b₄ = -0,2; b₅ = -1,4; b₂₃ =-1,24; b₁₂₃ =-1,5.

Для доверительной вероятности Р=0,95, при числе степеней свободы f=N(п-1)= 8(3-1)=16, значение критерия Стьюдента t=2,1190 (приложение 2). t₀ = |b₀| / S_b= 7,33/0,15=48,86>2,119;

t₁ = |b₁| / S_b= 1,24/0,15=8,26>2,119;

t₂ = |b₂| / S_b= 0,59/0,15=3,93>2,119;

t₃ = |b₃| / S_b= 0,37/0,15=2,46>2,119;

t₄ = |b₄| / S_b= 0,2/0,15=1,33<2,119;

t₅ = |b₅| / S_b= 1,4/0,15=9,33>2,119;

t₂₃ = |b₂₃| / S_b= 1,24/0,15=8,26>2,119;

t₁₂₃ = |b₁₂₃| / S_b= 1,5/0,15=10>2,119;

Отсюда видно, что коэффициент регрессии b₄ незначим.

Получили математическое описание процесса в виде уравнения регрессии:

Линейная ММ: y=7,33+1,24x₁ + 0,59x₂ + 0,37x₃ – 1,4x₅ (5.6)

Нелинейная: y=7,33+1,24x₁+0,59x₂+0,37x₃–1,4x₅ –1,24x₂x₃-1,5x₁x₂ x₃ (5.7)

Проверка адекватности уравнения регрессии исследуемому объекту проводим по критерию Фишера. F_p = S²_ад / S²_воспр

Вычисляем оценку дисперсности адекватности:

= Σ(ỹ_i ^эк - ỹ_i ^р)² / (N –В), где N – число опытов в эксперименте; В – число членов уравнения регрессии.

Определяем расчетное значение ỹ_i ^р.

y₁^р = 7,33 + 1,24(-1) + 0,59(-1) +0,37(-1)-1,4(+1)-1,24 (+1)-1,5(-1) = 3,99

y₂^р = 7,33 + 1,24(+1) + 0,59(-1) +0,37(-1)-1,4(-1)-1,24 (+1)-1,5(+1) = 6,27

y₃^р = 7,33 + 1,24(-1) + 0,59(+1) +0,37(-1)-1,4(+1)-1,24 (-1)-1,5(+1) = 4,65

y₄^р = 7,33 + 1,24(+1) + 0,59(+1) +0,37(-1)-1,4(-1)-1,24 (-1)-1,5(-1) = 12,93

y₅^р = 7,33 + 1,24(-1) + 0,59(-1) +0,37(+1)-1,4(-1)-1,24 (-1)-1,5(+1) = 7,01

y₆^р = 7,33 + 1,24(+1) + 0,59(-1) +0,37(+1)-1,4(+1)-1,24 (-1)-1,5(-1) = 9,69

y₇^р = 7,33 + 1,24(-1) + 0,59(+1) +0,37(+1)-1,4(-1)-1,24 (+1)-1,5(-1) = 8,71

y₈^р = 7,33 + 1,24(+1) + 0,59(+1) +0,37(+1)-1,4(+1)-1,24 (+1)-1,5(+1) = 5,39

Для нелинейной ММ (5.7):

=[(4.53-3,99)²+(6,23-6,27)²+(5,6-4,65)²+(12,5-12,93)²+(6,56-7,01)²+

+(10,63-9,69)²+ +(8,66-8,71)²+(5,93-5,39)²]/(8-7)= =(0,29+0,0001+0,9+0,19+0,2+0,88+0,0025+0,29)/1= 1,75

Для линейной ММ