Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 4 страница

Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Выражения для смещения х и ускорения отличаются только коэффициентом при cos (…). Поэтому = , или

(4)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Функция (1) - общее решение этого уравнения. Оно содержит две произвольные константы а и a. Их можно найти из начальных условий, например, если даны смещение и скорость в начальный момент t=0:

; .

Что же такое гармонический осциллятор? Ответ очевиден: кто меняет свою единственную координату по уравнению (1) или (4) – тот и есть гармонический осциллятор. Простейшими примерами гармонических осцилляторов являются грузик на пружинке, математический маятник, физический маятник. И пример для гурманов – вертикальные колебания льдины на воде. Попробуйте понять, что между этими примерами общего.

Грузик на пружине (пружинный маятник). Пусть грузик массы m подвешен на невесомой пружине жесткостью k. Смещение х будем отсчитывать от положения равновесия (рис.2). В состоянии равновесия пружина растянута под действием силы тяжести mg груза настолько, чтобы сила упругости была в точности равна -mg. Поскольку эти постоянные силы равны и противоположно направлены, они в сумме всегда равны нулю. В процессе колебаний сила упругости будет состоять из двух частей: (1) постоянной составляющей равной mg и (2) переменной составляющей равной kx. Таким образом, в записи второго закона Ньютона для грузика можно не учитывать силу тяжести mg и постоянную составляющую силы упругости (равную -mg) . Тогда произведение массы на ускорение равно переменной составляющей силы упругости

. (5)

Редкий ученик понимает, почему справа минус. Возьмите пружинку (хоть из авторучки) и попробуйте её растянуть и сжать. Что Вы заметили? Когда пружину сжимают, она стремится распрямиться (смещение вверх, сила упругости вниз), а когда растягивают, она стремится сжаться (смещение вниз, сила упругости вверх). Таким образом, знаки смещения x и силы kx всегда противоположны, поэтому и минус. Теперь перенесем - kx влево и разделим уравнение (5) на m

.

Правда, похоже на (4)? Чтобы сходство стало полным, обозначим . Тогда мы получим , т.е. дифференциальное уравнение гармонического осциллятора (ГО).

Мораль: коэффициент при x в дифференциальном уравнении гармонического осциллятора равен квадрату циклической частоты этого осциллятора. Если конечно Вы не забыли все уравнение предварительно разделить на коэффициент при ! А чему же равно x? Раз получено уравнение, идентичное дифференциальному уравнению (4), Þ(1) - его общее решение.

Пора спросить: а все ли знают, что точка над x обозначает первую производную по времени от x? Теперь догадайтесь, что означают две точки над x. И начинайте читать все сначала.

Из равенства следует, что циклическая частота пружинного маятника, зависит от жесткости пружины и массы груза: чем жестче пружина – тем больше частота, чем больше масса груза, тем меньше частота. С периодом все наоборот:

; . (6)

Пример из министерского тестирования: во сколько раз увеличится период колебаний пружинного маятника, если его массу и жесткость пружины увеличить в 2 раза? Ответ: не изменится. А если массу увеличить в 8 раз, а жесткость пружины увеличить в 2 раза? Ответ: в два раза. И так далее.

Физический маятник. Это твердое тело, совершающее малые колебания относительно неподвижной оси О, перпендикулярной листу (рис. 3). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось вращения О

(7)

(слева произведение момента инерции I на угловое ускорение, справа – момент силы тяжести). Чтобы понять, откуда справа минус, вспомним, куда направлены угловое ускорениеи момент силы . Правильно, оба вектора вдоль оси вращения. А почему всегда в разные стороны? Спрошу на экзамене! Разделим обе части на I; учтем, что для малых углов ; перенесем все в левую часть, обозначим и получим опять дифференциальное уравнение гармонического осциллятора

, (8)

только роль смещения вместо x выполняет угол φ. Решение уравнения (8) также совпадает с формулой (1) с точностью до обозначений: , где для разнообразия амплитуда обозначена φ₀. Циклическая частота и период колебаний физического маятника равны

; . (9)

Такую же частоту и период имеет математический маятник длины l_пр= , которую называют приведенной длиной физического маятника.

Математический маятник - это частица массы m, совершающая малые колебания на нити длиной l (в плоскости листа - на рис.4). Основное уравнение динамики вращательного движения будет отличаться только тем, что момент инерции частицы известен ( ), Þ ; Откуда минус? Да оттуда же! Теперь разделим обе части на ml²; учтем, что для малых углов ; перенесем все в левую часть и получим дифференциальное уравнение гармонического осциллятора (8), где на этот раз , Þ циклическая частота и период колебаний математического маятника равны

; . (10)

Похоже на выражения (6 и 9), но есть и различие: период (и обе частоты) математического маятника не зависят от его массы! А зависят только от ! Отсюда простейший способ измерения ускорения свободного падения . Берем нить известной длины с грузиком и измеряем период его колебаний. Подставляем в (8) и находим .

Пример из министерского тестирования: во сколько раз увеличится период колебаний матема-тического маятника, если его массу увеличить в 2 раза и длину нити увеличить в 2 раза? Ответ: в . А если массу увеличить в 8 раз, а длину нити увеличить в 4 раза? Ответ: в 2 раза. И масса в обоих случаях не при чем!

Мораль. Свободные колебания любого осциллятора без трения будут гармоническими, если действующая сила направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению от положения равновесия. В примере со льдиной именно так и получается: при вертикальных колебаниях меняется погруженная в воду часть льдины, а Þ и сила Архимеда пропорциональная глубине погружения.

Сложение гармонических колебаний одного направления. Можно условно изображать колебания с помощью вектора амплитуды , вращающегося с угловой скоростью w против часовой стрелки, так как проекции этого вектора изменяются по гармоническому закону. Действительно, угол вектора с осью х в момент времени t равен , а его проекция на ось х равна аcos . Проекция вектора суммы двух векторов равна сумме однонаправленных гармонических колебаний. Такой способ называется векторной диаграммой. Мы рассмотрим два случая: 1- когда частоты складываемых колебаний равны, 2 - когда они мало отличаются.

Термины “мало- много” требуют обязательного уточнения: по сравнению с чем? Всем известно, что три волоса на голове – это мало, а в тарелке – много! В нашем случае (колебаний, а не волос) уточнение состоит в том, что разность складываемых частот много меньше каждой из них. Обязательно обращайте внимание на уточнение! Оно неизбежно будет использовано при выкладках. Так, мы недавно использовали (дважды!) термин малые колебания. А уточнение состояло в том, что для них .

1 Пусть складываются гармонические колебания х₁ и х₂ с одинаковой частотой w. Тогда результирующее смещение равно

x= х₁ + х₂ = а₁ cos + а₂ cos = .

Изобразим колебания векторами и , которые в начальный момент составляют с осью х углы a₁ и a₂ соответственно (рис.5). Амплитуду а и начальную фазу a результирующего колебания можно найти, как видно из рисунка, из соотношений

(11)

(12)

Из (11) видно, что амплитуда результирующего колебания существенно зависит от разности фаз . При сложении синхфазных колебаний (т.е. таких, что =0) результирующая амплитуда максимальна, а при сложении колебаний в противофазе - минимальна: ; .

2 Пусть и w₂. Это значит, частоты мало отличаются! В этом случае справедлив рис.5. Но теперь векторы и вращаются с немного отличающимися угловыми скоростями, модуль результирующего вектора будет медленно (почему?,- спрошу!) изменяться от до , причем сам вектор вращается с угловой скоростью, близкой к и w₂. Строго говоря, результирующее колебание не является гармоническим. Его можно рассматривать, как почти гармоническое, но с медленно периодически изменяющейся амплитудой (рис.6). Такие колебания называются биениями. Результирующая амплитуда также может быть выражена формулой (11), но теперь разность фаз следует заменить выражением d = - = + .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть складываются гармонические колебания х и y с одинаковой частотой w

и . (13)

Поскольку cos любого угла можно записать, как sin дополнительного (до 90⁰) угла, то выражение для y можно представить как , где a+d=90⁰. Перепишем выражения (13) в виде

; (14)

Если возвести оба уравнения в квадрат, расписать синус суммы, сложить уравнения и учесть что sin²…+ cos²… =1, то можно исключить время. Так получим уравнение траектории - эллипс (рис.7). Обязательно получите самостоятельно! По этой эллиптической траектории точка будет вращаться с частотой w. Рассмотрим частные случаи.

а) d=0. Тогда . Эллипс вырождается в наклонный отрезок в первом и третьем квадрантах (рис.8а). Точка будет гармонически колебаться вдоль этого отрезка с частотой w.

б) d=p. Тогда . Тоже отрезок, только во втором и четвертом квадрантах (рис.8 б).

в) d=p/2. Тогда получим , Þ частица движется по эллипсу, полуоси которого совпадают с осями координат (рис.8 в). Так как колебание y опережает колебания х на p/2 (см. формулы (14)!), то y достигает max раньше, чем х, - поэтому вращение происходит по часовой стрелке.

г) d=3p/2=(-p/2); Þ наоборот: колебание х опережает колебания y на p/2, Þ тоже вращение по эллипсу, только против часовой стрелки (рис.8 г).

2. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются в целое число раз, то траектория результирующего колебания представляет собой довольно сложную кривую. Эти кривые называются фигурами Лиссажу.

Затухающие колебания.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. В реальной колебательной системе всегда есть силы типа трения, которые приводят к уменьшению амплитуды (и энергии) колебаний. Тогда свободные колебания называются затухающими. Пусть на частицу массы m кроме квазиупругой силы (-kx) действует сила сопротивления, пропорциональная скорости . Тогда уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид . Перенесем все в левую часть, разделим на m и введем обозначения: ; ; после чего получим

. (15)

Циклическую частоту w₀ называют собственной частотой, b - коэффициентом затухания. Уравнение (15) - это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение

, (16)

где а₀ и a - произвольные константы, которые можно найти из начальных условий; Частота затухающих колебаний , а зависит от b:

. (17)

Рис.9

Строго говоря, затухающие колебания не являются гармоническими (рис.9), но их можно условно называть гармоническими с экспоненциально уменьшающейся амплитудой (пунктир на рис.9). Решение (16) имеет смысл, если . В противном случае в (17) под корнем стоит отрицательная величина и процесс затухает апериодически. Физически это означает, что трение слишком велико, чтобы происходили колебания, хотя бы и с уменьшающейся амплитудой.

Время релаксации – это время t , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Так как меньше а_о в е раз, то , Þ -1=-bt, Þ .

Логарифмический декремент затухания – это логарифм отношения двух последовательных амплитуд

.

Подставляя в b=1/t, получим l=Т/t , Þ l - величина, обратная такому числу колебаний, за которое амплитуда уменьшится в е раз!

Вынужденные колебания.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Вынужденные колебания можно получить, если к перечисленным выше силам (квазиупругой = - kx и трения= ) добавить внешнюю силу, например, периодическую F=F₀coswt. Тогда по второму закону Ньютона

или

, (18)

где ; ; . Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (18) состоит из суммы общего решения однородного уравнения (15) и частного решения неоднородного (18). Общее решение однородного ДУ, как мы видели, затухает со временем. Поэтому остается только частное решение (соответствующее установившимсяколебаниям), которое показывает, что в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой w вынуждающей силы, но отстающие от нее по фазе на некоторое φ

. (19)

Если дважды продифференцировать (последний раз предупреждаю, что это значит – взять производную!) уравнение (18), нарисовать векторную диаграмму с учетом сдвига фаз, то можно найти а и φ

, (20)

Резонанс. Первая из формул (20) показывает зависимость амплитуды а от частоты вынуждающей силы (рис.10). При w=0, а= , а максимум амплитуды соответствует условию . Но еще проще найти минимум только для выражения под корнем, приравняв нулю производную от него. Соответствующая частота w_рез называется резонансной

w_рез= , (21)

а само явление достижения максимальной амплитуды называется резонансом. Подставляя в первую из формул (20) резонансную частоту (21), получим максимальную амплитуду

. (22)

Из (22) и рис.10 видно, что чем меньше затухание в системе, тем ярче выражен резонанс. Резонанс используют, если нужно усилить колебания, и, наоборот избегают, если он может привести к нежелательному усилению колебаний.

Упругие волны

Уравнение волны. Упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде. При этом сами частицы среды испытывают только колебания около своих положений равновесия. Если колебания частиц происходят вдоль направления распространения, то волна называется продольной, а если перпендикулярно – поперечной.

Рассмотрим для простоты распространение возмущения вдоль длинного натянутого шнура, который совместим с осью х. В качестве возмущения рассмотрим x - смещение элементов шнура из положения равновесия как функцию координаты и времени x=f(x,t). Пусть возмущение распространяется в положительном направлении оси х со скоростью u= . Тогда в точку с координатой х возмущение придет с опозданием на время . Итого в момент t в точке х возмущение будет равно x(x,t)=f(t-x/u) . Если волна распространяется в отрицательном направлении оси х, то в скобках будет плюс. Выражение в рамочке – это уравнение волны в общем виде. В частности, уравнение плоской гармонической волны имеет вид

x(x,t)=аcosw(t-x/u)= аcos(wt-wx/u). (23)

а – амплитуда волны, w - циклическая частота колебаний частиц среды. Функция (23) периодична с периодом 2p и по времени и по координате! Поэтому период равен . (24) Длиной волны l называется расстояние, проходимое за один период колебаний

l=uT= , Þ ln=u (25)

Введем волновое число k = = . Тогда уравнение плоской гармонической волны примет симметричный вид x(x,t)=аcos(wt-kx). (26)

Легко показать, что u - это фазовая скорость (т.е. скорость распространения вдоль ох некоторой зафиксированной фазы). Действительно, зафиксируем фазу в (23): пусть t-x/u=const. Þ , что и требовалось доказать.

Если волна распространяется в поглощающей среде, то ее амплитуда а будет уменьшаться экспоненциально (из опыта), тогда уравнение волны будет иметь вид

(27)

В плоской волне волновые поверхности (т.е. геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей, (в нашем случае плоскости ^ оси х). Если волновые поверхности - сферы, то волна называется сферической. Фронтом волны называется волновая поверхность, отделяющая область волнового процесса от невозмущенной части среды.

Волновое уравнение. Пусть дано уравнение волны x(x,t)=f(t-x/u), обозначим фазу φ=(t-x/u) и вычислим частные производные по времени и по координате:

; , Þ

; Þ (28)