Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю

Лекция - механика

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Основные законы и формулы

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Основной закон динамики точки:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

В векторной форме: Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru (1)

В координатной форме:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

(1*)

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Количество движения материальной точки:

это мера движения.

Определение: количеством движения материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на вектор ее скорости.

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Формулаглавного вектора количества движения для механической системы

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Для твердого тела с центром масс в точке С:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

где: МС – масса тела.

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Теоремы об изменении количества движения точки:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Теорема об изменении количества движения материальной точки

в интегральной форме:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Полный импульс силы

за любой промежуток времени t1

равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до t1:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Импульс силы:

Далее уравнение решается в зависимости от вида функции F(t).

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Количество движения колеса: Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru ,

где: w – угловая скорость вращения барабана;

Jz – момент инерции барабана;

Теорема об изменении количества движения механической системы:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru в дифференциальной форме:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru в интегральной форме:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

где: Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru – сумма всех внешних сил и сумма всех внутренних сил;

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru – сумма импульсов всех внешних сил, действующих на механическую систему.

 
  Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

если движение равномерное, т.е. vc = const.

сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru 2) сумма моментов всех внутренних сил, действующих на механическую систему, относительно некоторого центра равна нулю

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Теорема о движении центра масс механической системы:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

– произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

то из теоремы о движении центра масс механической системы следует, что aC=0 и vC=const, следовательно, если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно.

Формула момента количества движения для материальной точки

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

– векторное произведение радиуса-вектора на вектор

количества движения.

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Теорема об изменении кинетического момента (момента количества движения) материальной точки относительно неподвижного центра:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Формула кинетического момента (момента количества движения) для механической системы

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru ,

для вращающегося телавокруг неподвижной оси z:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

– кинетический момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Инертность – свойство тела сопротивляться изменению состояния покоя или равномерного прямолинейного движения.

Мера инертности:

а) для поступательно движущегося тела – массаm;

b) для вращающегося тела – момент инерции Jz.

Если вращение вокруг этого центра – равномерное, т.е. с постоянной угловой скоростью. (смотри формулу в К-23).

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Теорема об изменении кинетического момента механической системы точек:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Дифференциальное уравнение для вращающегося твердого тела:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

– произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме всех действующих на тело сил.

Моментом инерции тела(системы) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru (1)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru (2)

где интегрирование производится по всему объему тела. Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы, применяемые часто при решении многих задач:

Тело Положение оси вращения Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R Ось симметрии Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru
Сплошной цилиндр или диск радиусом R То же Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru
Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru
Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru
Шар радиусом R Ось проходит через центр шара Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Кинетический момент материальной точки: Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Или в аналитическом виде:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Элементарной работой силы Fназывается скалярная величина:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

где: Ft – проекция силы Fна касательную к траектории, t

направленную в сторону перемещения точки, dS – v

бесконечно малое перемещение точки, направленное Fn Ft

вдоль этой касательной.

Так как Ft = F·Сosa, то получим:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Т.о. элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение.

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Если a=0, то

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Если a=900, то

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Если a=1800, то

Работа силы тяжести равна взятому со знаком «+» или «–» произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

A(P) = ± P h.

Если тело поднимается, то работа силы тяжести

положительна, если тело опускается, то работа

силы тяжести отрицательна.

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Мощность

– величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Отсюда, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения.

Единицей измерения в системе СИ является ватт (1 вт=1 дж/с).

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу равна произведению момента силы, приложенной к твердому телу, на элементарное угловое перемещение

Полная работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу равна произведению момента силы, приложенной к твердому телу, на угол поворота:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

y

Работа силы тяжести равна:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Р′ a

Работу совершает только Р′ составляющая Р

силы тяжести. Вторая составляющая Р

перпендикулярна перемещению lР

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru (т.е. поверхности наклонной плоскости), поэтому работа ее равнанулю.

Мz

w

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Кинетической энергией (или живой силой) точки называется скалярная величина 0,5 mv2, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Кинетической энергией тела при его поступательном движении

называют

скалярную величину Т, равную половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

где: М – масса всего тела, – квадрат скорости центра масс тела

Формула показывает: тело при поступательном движении ведет себя так как материальная точка.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции тела относительно оси на квадрат угловой скорости этого тела:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Для тела, движущегося плоскопараллельно, кинетическая энергия состоит из двух слагаемых: кинетическая энергия поступательного движения как центр масс и кинетическая энергия вращательного движения относительно оси вращения:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергиимеханической системы в дифференциальной форме:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru ;

и в интегральной форме:

Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю - student2.ru

В первом уравнении (по порядку): дифференциал кинетической энергии равен сумме элементарных работ всех внешних сил плюс сумме элементарных работ всех внутренних сил.

Во втором уравнении (по порядку): кинетическая энергия в конечное время минус кинетическая энергия в начальное время равны сумме полных работ всех внешних сил плюс сумме полных работ всех внутренних сил.

Наши рекомендации