Указания по выполнению контрольных работ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Указания по выполнению контрольных работ. 4

Программа курса «Высшая математика». 5

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.. 7

1.1. Матрицы.. 7

1.2. Определители. 8

1.3. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. 11

1.4. Матричный метод. Обратная матрица. 12

1.5. Метод Гаусса. 13

1.6. Ранг матрицы.. 16

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.. 17

2.1. Векторы и действия над ними. 17

2.2. Декартова система координат. 19

2.3. Векторная алгебра. 20

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.. 22

3.1. Уравнение прямой. 22

3.2. Уравнение прямой и плоскости в пространстве. 25

3.3. Кривые второго поряка. 28

ЛИТЕРАТУРА.. 32

Указания по выполнению контрольных работ

Настоящие методические указания предназначены для студентов экономических специальностей, изучающих курс высшей математики по заочной форме обучения. Объём и содержание предлагаемого раздела «Математический анализ» определены программой курса, составленной в соответствии с ГОС Министерства образования РФ. Указанные указания не заменяют основную учебную литературу, а имеют своей целью помочь студенту-заочнику быстрее разобраться в материале, необходимом для выполнения контрольных работ и лучше усвоить наиболее сложные вопросы раздела. В указаниях приведены основные понятия и результаты, а также методика решения типовых задач изучаемого материала.

Студент должен выполнять один тот же вариант всех контрольных работ. Чтобы определить свой вариант, нужно разделить на 25 число, полученное отсечением двух цифр от номер студенческого билета (шифра), обозначающих год поступления в университет. Остаток от деления и есть номер вашего варианта. Если остаток равен нулю, то номер вашего варианта равен 25. Например, если шифр студента равен 23602, тогда остаток от деления 236 на 25 будет равен 11 и, следовательно, решать нужно вариант №11; если шифр студента равен 57501, тогда остаток от деления 575 на 25 будет равен 0 и, следовательно, решать нужно вариант №25.

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. В начале работы разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер и вариант контрольной работы и дату отсылки ее в университет.

2. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради (или на белой бумаге формата А4), авторучкой или распечатанной на принтере с полями не менее 3 см для замечаний рецензента.

3. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в контрольных работах. В начале каждого решения записывать условие задачи (без сокращений).

4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов. Обязательно, если требуется, выполнять чертежи с пояснениями и нарисованными аккуратно.

Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных правил или не своего варианта, не засчитываются и возвращаются без проверки.

Получив прорецензированную работу, студент обязан исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, ее необходимо в короткий срок либо выполнить заново (целиком), либо переделать задачи, указанные рецензентом. Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при защите перед зачетом или экзаменом.

Программа курса «Высшая математика»

для экономических специальностей,
раздел «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии»

1. Линейная алгебра

1. Понятие матрицы и обозначение ее элементов. Квадратная, диагональная, единичная и треугольная матрицы. Равенство матриц. Транспонирование матриц. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

2. Операция умножения матрицы на матрицу и ее свойства. Перестановочные матрицы. Единичная матрица.

3. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.

4. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей методом понижения порядка.

5. Свойства определителей. Вычисление определителей методом элементарных преобразований.

6. Решение системы линейных уравнений при помощи определителей. Правило Крамера. Условия применимости правила Крамера.

7. Обратная матрица; необходимое и достаточное условие ее существования. Нахождение обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

8. Решение матричных уравнений. Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы.

9. Системы линейных уравнений. Совместные, несовместные, определенные и неопределенные системы.

10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Общие и частные решения. Свободные и базисные переменные.

11. Однородная система линейных уравнений. Тривиальное решение. Условие нетривиальности однородной системы. Фундаментальная система решений.

12. Системы линейных уравнений. Общие и частные решения. Базисное решение.

13. Ранг матрицы и методы его вычисления. Теорема Кронекера-Капелли.

2. Векторная алгебра

1. Геометрическое понятие вектора. Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.

2. Понятие о линейной зависимости системы векторов.

3. Базис векторов. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису. Длина вектора в ортонормированном базисе.

4. Декартова система координат. Координаты точки. Координаты вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек. Расстояние между точками. Деление отрезка пополам.

5. Скалярное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух ненулевых векторов. Вычисление скалярного произведения через координаты векторов. Формулы для угла между векторами.

6. Правая левая тройка векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов. Вычисление векторного произведения через координаты векторов. Геометрический смысл векторного произведения.

7. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Вычисление смешанного произведения векторов через координаты векторов. Геометрический смысл смешанного произведения векторов. Необходимое и достаточное условия компланарности трех ненулевых векторов.

8. Понятия о линейном и евклидовом пространствах.

9. Понятие о линейном операторе. Связь линейных операторов с матрицами.

10. Собственные числа линейных операторов и матриц.

3. Элементы аналитической геометрии

1. Общее уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения.

2. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения.

3. Расположение прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между двумя прямыми.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов уравнения. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Общее уравнения плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

6. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Общие уравнения прямой. Взаимное расположения прямых в пространстве.

7. Кривые второго порядка. Классификация кривых второго порядка. Каноническая форма уравнений кривых второго порядка.

8. Каноническое уравнение эллипса. Основные характеристики эллипса и его свойства.

9. Каноническое уравнение гиперболы. Основные характеристики гиперболы и ее свойства.

10. Каноническое уравнение параболы. Основные характеристики параболы и ее свойства.

11. Понятие о квадратичных формах. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

12. Полярная система координат и ее связь с декартовой системой координат.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Матрицы

Матрица – это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Складывать матрицы можно только одинаковых размеров. При этом получается матрица тех же размеров, элементы которой равны сумме элементов матриц-слагаемых, стоящих на одинаковых местах. При умножении матрицы на число, каждый ее элемент умножается на это число.

Произведением матриц А и В называется матрица С, любой элемент c_ij которой состоит из суммы парных произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй матрицы. Говорят, что при перемножении матриц действует правило: «строка умножается на столбец». Заметим, что не всякие матрицы можно перемножать.

Пример 1.1. Перемножить матрицы:

а)

б)

Пример 1.2. Перемножить матрицы:

.

Решение. Для операции умножения матриц справедлив ассоциативный закон умножения: A(BC)=(AB)C. Поэтому данное задание выполним двумя способами.

Способ 1. Перемножим первые две матрицы:

.

Затем результат умножим на третью матрицу:

.

Способ 2. Перемножим последние две матрицы:

.

Затем результат умножим на первую матрицу:

.

Как и следовало ожидать, результат получился тот же самый.

Определители

Определитель есть число, полученное из элементов матрицы A и характеризующее её. Матрицы обычно обозначаются символами: det A, |A| или D..

(1.1)

Определитель второго порядка находится следующим образом:

Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали. Например:

Определитель матрицы 3-го порядка находится следующим образом

(1.2)

Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка. Например,

Правило треугольников: три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящие со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.

Пример 1.3. Вычислить определитель

Дополнительным минором M_ij элемента a_ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1)^i+j, т.е. A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n-го порядка по строке или столбцу.

Теорема. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка.

Свойство 1. Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы:

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2. Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Например:

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число.

Свойство 7. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

Пример 1.4. Вычислить определитель:

.

Решение. Упростим данный определитель, а затем вычислим его, разложив его по элементам 2-й строки:

.

Пример 1.5. Вычислить определитель:

.

Решение. Способ 1.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:

.

Способ 2.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:

.