Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его точки, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, имеют различные скорости Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru . Поэтому для того, чтобы найти кинетическую энергию вращательного движения твердого тела,необходимо разбить это тело на элементарные объемы так, чтобы каждый элементарный объем можно было рассматривать как материальную точку массой Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru , находящуюся на определённом расстоянии Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru от данной оси вращения. Тогда кинетическая энергия вращательного движения твердого тела Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru равна суммекинетических энергий всех n материальных точек массами Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru , на которые разбито это тело: Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru .

Так как для твердого тела угловая скорость вращения Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru всех материальных точек, на которые разбито это тело, одинакова, то

Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru ,

где Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru — момент инерции тела относительно его осивращения.

Момент силы.Если на тело, имеющее ось вращения ОО′,действует сила Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru, причем вектор силыТема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruрасположен в плоскости,перпендикулярной осиОО′ (рис. 5), то моментом этой силы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruотносительно неподвижной оси ОО′называется величина, равная произведению модуля силы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruна плечо l этой силы относительно оси ОО′: Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru,

где l – плечо силы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru,то есть кратчайшее расстояние между осью ОО′илинией действия силы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru.

Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru (Момент Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruсилы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruотносительно оси вращения ОО′ является векторной величиной, определяется векторным произведением векторов Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru и Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru(рис. 5):Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru, направлен вдоль оси вращения ОО′ в соответствии с правилом правого винта, а модуль вектора Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruопределяется в виде Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru).

Рис. 5

Работа при вращении твердого тела. При повороте тела на бесконечно малый угол Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru вокруг оси OO′ под действием силы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruсовершается элементарная работа: Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru,

где Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru– момент силы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruотносительно оси OO′.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела может быть получено, исходя из того, что элементарная работа при вращении твердого тела идет на элементарное увеличение его кинетической энергии, то есть:

dA=dT.

Так как Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru, а Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru , то

Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruили Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru.

Учитывая, что Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru , а Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru ,

получим: Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru

или в векторном виде: Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru .

В приведенной формуле: Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru – вектор углового ускорения;

Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ru– вектор момента силы, действующей на тело, относительно его оси вращения; I – момент инерции тела относительно его оси вращения.

В том случае, если на тело, имеющее ось вращения, действует не одна, а несколько сил, то приведенный в этой формуле момент силы Тема 5. Кинетическая энергия и работа вращательного движения Уравнение динамики вращательного движения твердого тела - student2.ruявляется результирующим моментом всех действующих на это тело сил и определяется векторной суммой всех моментов действующих сил относительно оси вращения данного тела.

Это уравнение естьуравнение динамики вращательного движения твердого тела: если на тело, имеющее ось вращения, действуют силы, то это тело приобретает угловое ускорение, прямо пропорциональное векторной сумме моментов всех действующих сил и обратно пропорциональное моменту инерции тела относительно его оси вращения.

Наши рекомендации