Список использованных источников. Рекомендовано Редакционно-издательским советом Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
Рекомендовано Редакционно-издательским советом Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного издания для бакалавров инженерно-технических направлений подготовки
Оренбург
УДК 512.64: 514.12(076)
ББК 22.151.5 я 7 + 22.143 я 7
У 76
Рецензент – доцент, кандидат физико-математических наук Н.Н. Щипкова
Усова, Л.Б.
У76 Линейная алгебра и аналитическая геометрия:комплект рабочих тетрадей. Рабочая тетрадь № 6 «Векторная алгебра»/Л.Б. Усова, Д. У. Шакирова. – Оренбург: ООО «НикОс», 2011. – 50 с.
Рабочая тетрадь № 6 содержит разобранные практические задания по теме «Векторная алгебра».
Предназначена для обучения бакалавров инженерно-технических направлений подготовки.
Рабочая тетрадь поможет преподавателям организовать самостоятельное усвоение лекционного материала и текущий контроль знаний студентов. Данная тетрадь окажет существенную помощь студентам при выполнении домашних и типовых расчетных заданий, а также поможет подготовиться к контрольной работе, к коллоквиуму, зачету и тестам.
Данная рабочая тетрадь подготовлена в ходе выполнения проекта
№ 3.1.1/13256 (АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы»).
УДК 512.64: 514.12(076)
ББК 22.151.5 я 7 + 22.143 я 7
© Усова Л.Б.,
Шакирова Д.У., 2011
Содержание
Введение…………………………………………………………………….4
1 Вопросы для самопроверки……………………………………………...7
2 Практическое занятие……………………………………………………8
3 Домашнее задание………………………………………….…………....33
4 Самостоятельная работа………………………………….……………..37
5 Тест………………………………………………………….……………40
6 Расчетно-графическое задание…………………………………………42
Список использованных источников………………………….…………50
Введение
Комплект рабочих тетрадей включает 6 рабочих тетрадей:
- рабочая тетрадь № 1 «Комплексные числа»;
- рабочая тетрадь № 2 «Матрицы»;
- рабочая тетрадь № 3 «Определители»;
- рабочая тетрадь № 4 «Обратная матрица. Ранг матрицы»;
- рабочая тетрадь № 5 «Системы линейных уравнений»;
- рабочая тетрадь № 6 «Векторная алгебра».
Данный комплект используется для проведения практических занятий, самостоятельной работы и в ходе промежуточной аттестации.
Цель создания комплекта рабочих тетрадей – развитие практических навыков решения задач. Особенностью данных тетрадей являются уровневые задания.
- Задания первого уровня зафиксированы как базовый стандарт. Выполняя их, студент овладевает конкретным материалом по дисциплине на уровне его воспроизведения. Работа по первичному усвоению материала на этом уровне имеет свои особенности. Она требует многократного его повторения, умения выделять основные группы, вычленять главное, знание приемов запоминания и т.д. Задания первого уровня должен уметь выполнить каждый студент, прежде чем приступить к работе следующего уровня.
- Задания второго уровня расширяют материал первого уровня, обеспечивают овладение студентами общими и специфическими приемами учебной и умственной деятельности, которые необходимы для решения задач на применение. Задания данного уровня увеличивают объем сведений, помогают глубже понять основной материал, делают общую картину более цельной. Выполнение заданий второго уровня поднимает студента на уровень осознанного, творческого применения знаний и предусматривает свободное владение фактическим материалом, приемами учебной работы и умственных действий. Этот уровень позволяет студенту проявить себя в дополнительной самостоятельной работе.
В данных рабочих тетрадях применяется методика свободного выбора заданий второго уровня.
Анализ ФГОС подготовки бакалавра инженерно-технических направлений подготовки показал, что в результате обучения математике выпускник должен демонстрировать:
- владение математической культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;
- умение логически верно аргументировано и ясно строить математическую устную и письменную речь;
- готовность к кооперации с коллегами, работе в коллективе;
- способность самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности математические знания и умения, стремление к саморазвитию
- способность использовать основные законы математических дисциплин в профессиональной деятельности, интегрировать знания из разных разделов курса математики;
- способность применять аналитические, вычислительные методы для решения прикладных задач в области техники;
- способность принимать научно-обоснованные решения на основе математики, осуществлять постановку и выполнять эксперименты по проверке их корректности и эффективности;
- основные положения, законы и методы математики; способность выявить естественнонаучную сущность проблемы, возникающей в ходе профессиональной деятельности, готовность привлечь для их решения соответствующий математический аппарат;
- способность разрабатывать и применять математическую модель соответствующую процессу в ходе профессиональной деятельности.
Структура и содержание разделов рабочей тетради № 6 соответствует стандарту ФГОС и включает практикум по разделу «Векторная алгебра».
Рабочая тетрадь №6 «Векторная алгебра» состоит из блоков:
¨ блок 1 «Вопросы для самопроверки» – содержит вопросы для проверки усвоения теоретического материала;
¨ блок 2 «Практическое занятие»- содержит разноуровневые задания, состоящее из двух пунктов. Пункт (а) сопровождается подробным решением примера, а в пункте (б) предоставляется поле для ответов, что позволяет студенту использовать как тетрадь, индивидуального характера;
¨ блок 3 «Домашнее задание»- содержит задания с ответами для самостоятельного решения и закрепления пройденного материала;
¨ блок 4 «Самостоятельная работа» - содержит трехуровневые задания;
¨ блок 5 «Тест» - содержит теоретические и практические задания данного раздела;
¨ блок 6 «Расчетно-графические задания» - содержит разнообразные индивидуальные задания для глубокого усвоения данного раздела.
Рабочая тетрадь «Векторная алгебра» не содержит теоретических сведений по данной теме. Необходимый лекционный материал можно найти в следующих источниках: А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» на страницах 184-194, 211-217; К. Н. Лунгу «Высшая математика. Руководство к решению задач» на страницах 68-79; К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко «Сборник задач по высшей математике» на страницах 91-117; Ильин В.А., Э.Г. Позняк «Линейная алгебра» на страницах 12-46; Д.В. Беклемишев «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» на страницах 9-39.
Вопросы для самопроверки
1 Сформулируйте определение линейной комбинации векторов?
2 Какие векторы называются линейно зависимыми?
3 Какие векторы называются линейно независимыми?
4 Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов ( через угол и через координаты) в или ?
5 Сформулируйте признак перпендикулярности двух векторов.
6 Сформулируйте определение коллинеарности двух векторов.
7 Сформулируйте признак коллинеарности двух векторов.
8 Сформулируйте определение векторного произведения двух векторов.
9 Сформулируйте геометрический смысл векторного произведения двух векторов.
10 Сформулируйте определение смешанного произведения трех векторов.
11 Сформулируйте геометрический смысл смешанного произведения трех векторов.
12 Сформулируйте определение компланарности трех векторов.
13 Сформулируйте признак компланарности трех векторов.
14 Точки и . Найдите координаты и .
15 Даны два вектора , и угол между этими векторами равен . Постройте два вектора и .
16 Найдите скалярное произведение двух векторов и , если и .
17 Найдите векторное произведения двух векторов и .
18 Проверить коллинеарность векторов и , если , .
19 Найдите смешанное произведение трех векторов , и , если , и .
20 Сформулируйте определение базиса.
21 Какие вектора называются равными?
22 Сформулируйте определение ортвектора?
23 Сформулируйте определение евклидова пространства.
24 Сформулируйте определение нормы вектора евклидова пространства.
25 Сформулируйте теорему Пифагора в .
26 Как определяется угол между векторами евклидового пространства?
27 Сформулируйте определение ортонормированного базиса.
28 Сформулируйте определение линейного пространства.
29 Какие векторы называются ортогональными?
30 Сформулируйте теорему Коши-Буняковского.
Практическое занятие
Каждое из следующих заданий состоит из пунктов (а) и (б). В пункте (а) изложено подробное решение данного задания, в которых студентам необходимо разобраться для дальнейшего самостоятельного решения заданий в пункте (б). В заданиях пункта (б) в пустые строки предлагается вписать решения задания и сравнить с ответом.
Задание 1
Является ли линейно зависимой система векторов:
а) 1. ; 2. , ; 3. , , ; б) 1. , , ; 2. , , .
Решение.
а) 1. , ,
Составим линейную комбинацию векторов на числа , т.е. ,
Так как все числа равны 0, то система векторов линейно независимая.
2. ,
Составим линейную комбинацию векторов и на числа , т.е. ,
Следовательно, система векторов и - линейно независимая.
3. , ,
.
Пусть , тогда .
Таким образом, мы нашли совокупность чисел, отличных от нуля , при которых линейная комбинация будет равна 0 (нулевому вектору), т.е.
Мы доказали, что векторы , и - линейно зависимые.
Так как векторы линейно зависимы, то любой вектор можно выразить через остальные векторы.
Например, или или .
б) 1. , ,
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. , ,
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ. а) 1. нет, 2. нет, 3. да; б) 1. нет, 2. да
Задача 2
Образуют ли базис векторы , , если они имеют следующие координаты:
а) , , ;
б) , , ?
Решение.
Базисом называется система линейно независимых векторов, через которые можно выразить любой вектор пространства.
Докажем, что вектора , линейно независимые.
а) , ,
Составим линейную комбинацию векторов , на числа и найдем эти числа .
, ,
По формулам Крамера решим данную систему.
, , , .
Таким образом - бесчисленное множество решений, а следовательно, вектора , линейно зависимы, т.е. вектора , не могут образовывать базис.
б) , ,
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Ответ. а) нет; б) да
Задача 3
Найдите координаты вектора в базисе , , если:
а) , , , ;
б) , , , .
Решение.
а) , , ,
Докажем, что вектора , линейно независимые.
Составим линейную комбинацию векторов и найдем числа .
, ,
По формулам Крамера решим данную систему.
, , , .
Все числа равны 0, следовательно, вектора , линейно независимые и образуют базис. Найдем координаты вектора в базисе , . Разложим вектор по векторам , : , тогда ,
, ,
, . .
Таким образом, .
б) , , , .
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Ответ. а) Да. ; б) Да.
Задача 4
Задано четырехмерное линейное пространство . Определить угол между векторами и , если векторы имеют следующие координаты:
а) и ;
б) и .
Решение.
а)
; ; ; ; .
б) и
_____________
__________________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задача 5
Рассмотрим евклидово пространство непрерывных функций , , , … на отрезке . Скалярное произведение определено равенством . Найдите угол между векторами , .
Решение.
Имеем . Нетрудно заметить, что , так как подынтегральная функция является нечетной. Следовательно, векторы и ортогональны.
Задача 6
Дано евклидово шестимерное пространство. Проверить справедливость теоремы Пифагора для ортогональных векторов и .
Решение.
Найдем нормы векторов , и .
, ; ; .
Ответ.
Задача 7
В евклидовом пространстве непрерывных функций рассматриваются два вектора: . Найдите значение , при котором векторы и ортогональны на отрезке [0, 1], и проверить справедливость теоремы Пифагора для этих векторов.
Решение.
Составим скалярное произведение:
.
Из условия определяем ; имеем , откуда .
Найдем длины векторов и :
,
,
.
Таким образом, , , , т.е. .
Ответ. ,
Задача 8
Приведем примеры линейных пространств:
- множество всех свободных векторов в пространстве (на плоскости) с линейными операциями над векторами является линейным пространством, так как верны все аксиомы линейного пространства;
- множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке и параллельных данной плоскости с линейными операциями над векторами является линейным пространством;
- множество матриц типа , элементами которых являются действительные числа, с линейными операциями над матрицами также удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства и является линейным пространством;
- множество матриц-строк (матриц-столбцов) длины является линейным пространством относительно матричных операций сложения и умножения на число (это частный случай предыдущего примера);
- множество многочленов переменного степени, не превышающей , которые как функции можно складывать и умножать на действительные числа;
- множество всех решений данной однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решения можно рассматривать как матрицы-столбцы, складывать и умножать на числа по законам матричных операций. Столбец, получаемый в результате сложения решений или умножения решения на число, снова будет решением системы. Поэтому определены операции, подчиняющиеся аксиомам линейного пространства;
- множество функций, непрерывных на отрезке, с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число. При сложении непрерывных функций получаем непрерывную функцию, при умножении непрерывной функции на число также получаем непрерывную функцию. Поэтому сложение функций и умножение функций на число, не выводящие за пределы множества непрерывных на отрезке функций, можно рассматривать как операции линейного пространства. Легко убедиться, что для этих операций верны все аксиомы линейного пространства.
Задача 9
Вычислите направляющие косинусы вектора , если он задан координатами: а) ; б) .
Решение.
а)
, , .
, , .
б)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задача 10
Может ли с координатными осями составлять следующие углы:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
.
а) .
б)
____________________________________________________________
____________________________________________________________
в)
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Ответ. а) да; б) нет; в) да
Задача 11
Проверить коллинеарность векторов:
а) и ;
б) и ;
в) и .
Решение.
а) и
. .
б) и
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
в) и
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Ответ. а) не коллинеарны; б) коллинеарны; в)не коллинеарны
Задача 12
При каких значениях и :
а) и ;
б) и ?
Решение.
а) и ;
б) и
_____________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задача 13
Известно: , . Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Решение.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д)
.
е) ____________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ: а) 9; б) 16; в) – 6; г) 13; д) – 61; е) 73
Задача 14
При каком значении вектора и взаимноперпендикулярны и имеют следующие координаты:
а) и ;
б) и ?
Решение.
а) и
, , .
.
б) и
__________________________________________________________________
_______________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задача 15
Найдите косинус угла, образованного векторами:
а) и ; б) и .
Решение.
а) и
По формуле скалярного произведения двух векторов выразим косинус угла между двумя векторами и : .
Найдем скалярное произведение векторов и и их модули.
, , ,
т.е. .
б) и
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задача 16
Дан треугольник . Определите внутренний угол при вершине ,если даны координаты вершин:
а) , , ;
б) , , .
Решение.
а) , ,
Найдем координаты векторов: , . Выпишем формулу и подставим в нее значение.
б) , ,
__________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задача 17
Найти координаты вектора , коллинеарный вектору , образующий острый угол с заданной осью, , если:
а) , с осью OZ;
б) , с осью OX.
Решение.
, .
, ,
,
.
,
,
.
б) , с осью OX
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ: а) , б)
Задание 18
Найдите координаты вектора , зная, что:
а) вектор перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию ;
б) вектор перпендикулярен оси OZ и удовлетворяет условию и .
Решение.
а) , , .
, и .
Решим систему линейных уравнений.
, , , , , , .
б)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задание 19
Найдите координаты вектора , удовлетворяющий условиям:
а) ; ; , , и ;
б) ; ; , , и .
Решение.
а) Найдем координаты вектора используя условия:
; ; :
, ,
, , .
б) Найдем координаты вектора используя условия:
; ; :
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ. а) ; б)
Задание 20
Даны координаты векторов и . Найдите:
а) , ; б) , .
Решение.
а) ,
, . Найдем векторное произведение векторов
,
.
б) ____________________________________________________________
_____________, _______________________________________________
_______________________________________________________________.
Ответ. а) , ; б) ,
Задание 21
Найдите площадь треугольника с вершинами в точках:
а) , , ; б) , , .
Решение.