Виды письменной нумерации.Системы счисления

Цель всякой нумерации— изображение любого натураль­ного числа с помощью небольшого количества индивидуаль­ных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака— 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда запи­сывалось бы повторением символа единицы столько раз,сколь­ко в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание— к вычерки­ванию(вытиранию) их.Идея, лежащая в основе такой систе­мы,проста, однако эта система очень неудобна.Для записибольших чисел она практически не пригодна,и ею пользуют­ся только народы,у которых счет не выходит за пределы од-ного-двух десятков.

С развитием человеческого общества увеличиваются зна­ния людей и все больше становится потребность считать и записывать результаты счета довольно больших множеств,измерения больших величин.

У первобытных людей не было письменности,не было ни букв, ни цифр,каждую вещь,каждое действие изобра­жали рисунком. Это были реальные рисунки, отображающието или другое количество.Постепенно они упрощались,ста­новились все более удобными для записи.Речь идет о записи чисел иероглифами.Иероглифы древних египтян свидетель­ствуют о том, что искусство счета было развито у них доста­точно высоко, с помощью иероглифов изображались боль­шие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи,которая позволяла бы обозначать числа специальными,более удоб­ными знаками (цифрами).Происхождение цифр у каждогонарода различное.

Первые цифры встречаются более чем за2 тыс. лет до н.э.в Вавилоне.Вавилоняне писали палочками на плитах из мяг­кой глины и потом свои записи высушивали.Письменность древних вавилонян называласьклинописью.Клинышки раз­мещались и горизонтально,и вертикально в зависимости от их значения.Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные,так называемые десятки — единицы вто­рого разряда.

Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных.Такая нумерация,например, была у древних греков.По име­ни ученого, который предложил ее,она вошла в историю культуры под названиемгеродианованумерация.Так, в этой нумерации число «пять»называлось«pinta»и обозначалосьбуквой«Р», а число десять называлось«deka»и обозначалосьбуквой«Д». В настоящее время этой нумерацией не пользуетсяникто.В отличие от нее римскаянумерация сохранилась и дошла до наших дней.Хотя теперь римские цифры встречают­ся не так часто:на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах,столетий, на старых строениях и т.д. В римской нуме­рации есть семь узловых знаков: I,V,X,L,С, D,М.

Можно предположить,как появились эти знаки. Знак(1)— единица — это иероглиф, который изображаетIпа­лец(каму), знак V— изображение руки (запястье руки с отставленным большим пальцем),а для числа 10— изобра­жение вместе двух пятерок (X).Чтобы записать числа II,III,IV,пользуются теми же самыми знаками, отображаядействия с ними. Так, числаIIи IIIповторяют единицу соответствующее число раз. Для записи числаIVперед пя­тью ставится I.В этой записи единица, поставленная перед пятеркой,вычитается из V,а единицы,поставленные за V,

прибавляются к ней. И точно так же единица,записаннаяперед десятью (X),отнимается от десяти, а та, что стоитсправа,— прибавляется к ней. Число 40обозначаетсяXL.В этом случае от 50 отнимается10. Для записи числа 90 от 100отнимается10 и записывается ХС.

Римская нумерация весьма удобна для записи чисел, но почти не пригодна для проведения вычислений.Никаких действий в письменном виде (расчеты«столбиками»и дру­гие приемы вычислений)с римскими цифрами проделать практически невозможно.Это очень большой недостатокримской нумерации.

У некоторых народов запись чисел осуществлялась буква­ми алфавита, которыми пользовались в грамматике.Эта за­пись имела место у славян, евреев,арабов, грузин.

Алфавитнаясистема нумерации впервые была использо­вана в Греции. Самую древнюю запись,сделанную по этой системе,относят к серединеVв. до н.э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными сим­волами с помощью соответствующих букв алфавита.В гре­ческой и славянской нумерациях над буквами,которые обо­значали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло»(~). Например, а,б, <Г^иТ-Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа при­бавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с чер­точкой слева внизу,например, @ ,, q_;и т.д.

Следы алфавитной системы сохранились до нашего вре­мени.Так, часто буквами мы нумеруем пункты докладов,резолюций и т.д. Однако алфавитный способ нумерации со­хранился у нас только для обозначения порядковых числи­тельных.Количественные числа мы никогда не обозначаембуквами,тем более никогда не оперируем с числами,запи­санными в алфавитной системе.

Старинная русская нумерация также была алфавитной.Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в Xв.

Сейчас существуетиндийская система записи чисел. Заве­зена она в Европу арабами, поэтому и получила название арабскойнумерации.Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел.В этой нумера­ции для записи чисел используется10 значков, которые на­зываются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до9.

2 Заказ1391

Десятый значок — нуль(0) — означает отсутствие определен­ного разряда чисел.С помощью этих десяти знаков можно за­писать какие угодно большие числа.До XVIIIв. на Руси пись­менные знаки, кроме нуля, назывались знамениями.

Итак,у народов разных стран была различная письмен­ная нумерация:иероглифическая— у египтян;клинопис­ная— у вавилонян;геродианова— у древних греков, фи­никийцев;алфавитная— у греков и славян; римская— в западных странах Европы;арабская — на Ближнем Востоке.Следует сказать, что теперь почти везде используется араб­ская нумерация.

Анализируя системы записи чисел (нумерации),которые имели место в истории культур разных народов, можно сде­лать вывод о том,что все письменные системы делятся на две большие группы:позиционные и непозици­онные системы счисления.

К непозиционным системам счисления принад­лежат:запись чисел иероглифами,алфавитная,римская инекоторые другие системы.Непозиционная система счисле­ния— это такая система записи чисел, когда содержаниекаждого символа не зависит от места, на котором он напи­сан.Эти символы являются как бы узловыми числами, аалгорифмические числа комбинируются из этих символов.Например,число 33 в непозиционной римской нумерации записывается так: XXXIII.Здесь знакиX(десять) и I(еди­ница)используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую вели­чину:X— десять единиц,I— единица, независимо от мес­та,на котором они стоят в ряду других знаков.

В позиционных системах каждый знак имеет раз­ное значение в зависимости от того, на котором месте в записи числа он стоит.Например, в числе 222 цифра«2» повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы,вторая — два десятка, а третья— две сотни. В этом случае мы имеем в видудесятичную систему счисления.Наря­ду с десятичной системой счисления в истории развитияматематики имели место двоичная, пятиричная,двадцати­ричная и др.

Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощьюсравнительно небольшого количества знаков. Важное пре­имущество позиционных систем — простота и легкость вы­полнения арифметических операций над числами, записан­ными в этих системах.

Появление позиционных систем обозначения чисел было одной из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло не случайно,а как закономерная ступень в культурном развитии народов.Подтверждением этого яв­ляется самостоятельное возникновение позиционных систем уразных народов: у вавилонян— более чем за2 тыс. лет до н.э.;у племен майя(центральная Америка) — в начале но-вой'эры;у индусов — вIV—VIв. н.э.

Происхождение позиционного принципа прежде всего следует пояснить появлением мультипликативной формы за­писи.Мультипликативная запись — это запись с помощьюумножения.Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число154 можно записать:1хЮ²+5х10+4.Как видим, в этой записиотображается тот факт, что при счете некоторые количестваединиц первого разряда,в данном случае десять единиц,бе­рутся за одну единицу следующего разряда, определенноеколичество единиц второго разряда берется,в свою очередь,за единицу третьего разряда и т.д. Это позволяет для изобра­жения количества единиц разных разрядов использовать одни и те же числовые символы. Эта же запись возможна при счете любых элементов конечных множеств.

В пятиричной системе счет осуществляется«пятками» —по пять. Так, африканские негры считают на камушках или орехах и складывают их в кучи по пять предметов в каждой. Пять таких куч они объединяют в новую кучку и т.д. При этом сначала пересчитывают камушки, потом кучки, потомбольшие кучи. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство,что с кучами камешков следует произво­дить те же самые операции, что и с отдельными камешками.Технику счета по этой системе иллюстрирует русский пу­тешественник Миклухо-Маклай.Так, характеризуя процесс пересчитывания товара туземцами Новой Гвинеи,он пишет, что чтобы посчитать количество полосок бумаги,которые обозначали число дней до возвращения корвета «Витязь»,папуасы делали следующее:первый, раскладывая полоски бумаги на коленях, при каждом откладывании повторял «каре»(один), «каре»(два) и так до десяти, второй повто­рял это же слово,но при этом загибал пальцы сначала наодной,потом на другой руке. Досчитав до десяти и загнувши пальцы обеих рук, папуас опускал оба кулака на колени,проговаривая«ибен каре»— две руки. Третий папуас при этом загибал один палец на руке.С другим десятком было

выполнено то же самое,причем третий папуас загибал вто­рой палец, а для третьего десятка— третий палец и т.д. По­добный счет имел место и у других народов.Для такого счета необходимы были не менее чем три человека.Один считалединицы,другой — десятки,третий — сотни.Если же заме­нить пальцы тех, кто считал, камушками,помещенными в разные выемки глиняной доски или нанизанными на прути­ки,то получился бы самый простой счетный прибор.

Со временем названия разрядов при записи чисел начали пропускать.Однако для завершения позиционной системы недоставало последнего шага — введения нуля. При сравни­тельно небольшой основе счета,какой было число 10, и оперировании сравнительно большими числами,особенно после того как названия разрядных единиц начали пропус­кать,введение нуля стало просто необходимым.Символ нулясначала мог быть изображением пустого жетона абака или видоизмененной простой точки,которую могли поставить на месте пропущенного разряда. Так или иначе, однако вве­дение нуля было совершенно неизбежным этапом законо­мерного процесса развития,который и привел к созданиюсовременной позиционной системы.

В основе системы счисления может быть любое число, кро­ме1 (единицы) и 0 (нуля). В Вавилоне,например, было число 60.Если за основу системы счисления берется большое число, то запись числа будет очень короткой, однако выполнениеарифметических действий будет более сложным.Если же, на­оборот,взять число2 или 3, то арифметические действия выполняются очень легко,но сама запись станет громоздкой.Можно было бы заменить десятичную систему на более удоб­ную,но переход к ней был бы связан с большими трудно­стями:прежде всего довелось бы перепечатывать заново все научные книги,переделывать все счетные приборы и маши­ны.Вряд ли такая замена была бы целесообразной.Десятичнаясистема стала привычной,а значит, и удобной.

Упражнения для самопроверка

Последовательный ряд чисел опреде-

лялся постепенно. Основную роль в созда­нии ... чисел играла... сложения. Кроме того, использовались ..., а также умножение.

алгорифмических

операция

вычитание

знаки

клинопись иероглифы алфавитная

Для записи чисел разные народы изобретали различные ....Так, до наших

дней дошли такие виды записи: ,

геродианова, ..., римская и др.

И в настоящее время люди иногда
пользуются алфавитной и .., нумерациями, римской

чаще всего при обозначении порядковыхчислительных.

В современном обществе большинство
народов пользуется арабской (...)нумера- индусской

цией.

Письменные нумерации(системы) де­
лятся на две большие группы: позицион­
ные и ... системы счисления. непозиционные

§ 6. Счетные приборы

Самыми древними приборами для облегчения счета и вы­числений были человеческая рука и камешки.Благодаря сче­ту на пальцах возникли пятиричная и десятиричная(деся­тичная)системы счисления.Верно подмечено ученым мате­матиком Н.Н.Лузиным,что «преимущества десятичнойсистемы не математические,а зоологические.Если бы у насна руках было не десять пальцев,а восемь, то человечествопользовалось бы восьмиричной системой».

В практической деятельности при счете предметов люди использовали камушки, бирки с зарубками,веревки с узел­ками и др. Первым и более усовершенствованным устрой­ством,специально предназначенным для вычислений,был простой абак, с которого и началось развитие вычислитель­ной техники. Счет с помощью абака,известный уже в Ки­тае, Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры,просуществовал многие тысячелетия,когда на сменуабаку пришли письменные вычисления.При этом следуетзаметить,что абак служил не столько для облегчения соб­ственно вычислений,сколько для запоминания промежу­точных результатов.

Известно несколько разновидностей абака: греческий,ко­торый был выполнен в виде глиняной дощечки, на которой твердым предметом проводили линии и в получившиеся уг­лубления(бороздки) клали камешки. Еще более простым был римский абак, на котором камешки могли передвигаться не по желобам, а просто по линиям, нанесенным на доске.

В Китае похожий на абак прибор называли суан-пан,а в Японии— соробан. Основой для этих приборов были шари-

ки,нанизанные на прутики;счетные таблицы,состоящие из горизонтальных линий, соответствующих единицам, де­сяткам,сотням и т.д.,и вертикальных,предназначенныхдля отдельных слагаемых и сомножителей.На эти линии вык­ладывались жетоны — до четырех.

У наших предков тоже был абак— русские счеты.Они появились в XVI—XVIIвв., ими пользуются и в наши дни.Основная заслуга изобретателей абака состоит в использова­нии позиционной системы счисления.

Следующим важным этапом в развитии вычислительной техники было создание суммирующих машин и арифмомет­ров.Такие машины были сконструированы независимо друг от друга разными изобретателями.

В рукописях итальянского ученого Леонардо да Винчи (1452—1519)имеется эскиз13-разрядного суммирующего устройства.Немецким ученым В.Шикардом(1592—1636) был разработан6-разрядный эскиз, а сама машина былапостроена примерно в 1623году. Следует отметить, что эти изобретения стали известны только в серединеXXв., по­этому никакого влияния на развитие вычислительной тех­ники они не оказали.Считалось, что первую суммирую­щую машину (8-разрядную)сконструировал в 1641 году, а построил в 1645году Б.Паскаль.По этому проекту было налажено их серийное производство.Несколько экземпля­ров этих машин сохранилось до наших дней.Достоинствомих было то, что они позволяли выполнять все четыре ариф­метических действия: сложение,вычитание,умножение иделение.

Под термином«вычислительная техника» понимают со­вокупность технических систем, т.е.вычислительных машин, математических средств, методов и приемов,используемых для облегчения и ускорения решения трудоемких задач, свя­занных с обработкой информации(вычислениями),а также отрасль техники, занимающейся разработкой и эксплуата­цией вычислительных машин. Основные функциональныеэлементы современных вычислительных машин, или ком­пьютеров,выполнены на электронных приборах, поэтомуих называют электронными вычислительными машинами — ЭВМ.По способу представления информации вычислитель­ные машины делят на три группы;

— аналоговые вычислительные машины (АВМ), в кото­рых информация предстаатяется в виде непрерывно изменя­ющихся переменных,выраженных какими-либо физичес­кими величинами;

• цифровые вычислительные машины (ЦВМ), в которых
  информация представляется в виде дискретных значений пе­
  ременных (чисел), выраженных комбинацией дискретных зна­
  чений какой-либо физической величины (цифры);
• гибридные вычислительные машины (ГВМ), в кото­
  рых используются оба способа представления информации.

Первое аналоговое вычислительное устройство появилось вXVIIв. Это была логарифмическая линейка.

ВXVIII—XIXвв. продолжалось совершенствование меха­нических арифмометров с электрическим приводом. Это усо­вершенствование носило чисто механический характер и спереходом на электронику утратило свое значение. Исклю­чение составляют лишь машины английского ученого Ч.Бе-биджа:разностные(1822) и аналитические(1830).

Разностная машина предназначалась для табулирования многочленов и с современной точки зрения была специали­зированной вычислительной машиной с фиксированной(же­сткой)программой.Машина имела«память» —несколькорегистров для хранения чисел. При выполнении заданного числа шагов вычислений срабатывал счетчик числа опера­ций— раздавался звонок. Результаты выводились на печать —печатающее устройство.Причем по времени эта операциясовмещалась с вычислениями.

При работе над разностной машиной Бебидж пришел к идее создания цифровой вычислительной машины для вы­полнения разнообразных научных и технических расчетов. Работая автоматически,эта машина выполняла заданную программу.Автор назвал эту машину аналитической.Данная машина— прообраз современных ЭВМ. Аналитическая ма­шина Бебиджа включала в себя следующие устройства:

• для хранения цифровой информации (теперь это назы­
  вается запоминающим устройством);
• для выполнения операций над числами (теперь это
  арифметическое устройство);
• устройство, для которого Бебидж не придумал назва­
  ния и которое управляло последовательностью действий ма­
  шины (сейчас это устройство управления);
• для ввода и вывода информации.

В качестве носителей информации при вводе и выводе Бе­бидж предполагал использовать перфорированные карточки (перфокарты)типа тех, которые применяются в управле­нии ткацким станком.Бебидж предусмотрел ввод в машинутаблиц значений функций с контролем.Выходная информа­ция могла печататься,а также пробиваться на перфокартах,

что давало возможность при необходимости снова вводить ее в машину.

Таким образом, аналитическая машина Бебиджа была пер­вой в мире программно-управляемой вычислительной ма­шиной.Для этой машины были составлены и первые в мирепрограммы.Первым программистом была дочь английскогопоэта Байрона — Августа Ада Лавлейс(1815—1852). В ее честьодин из современных языков профаммирования называется«Ада».

Первой электронно-вычислительной машиной принятосчитать машину, разработанную в Пенсинвальском универ­ситете США. Эта машина ЭНИАК была построена в1945 году,имела автоматическое программное управление.Недо­статком этой машины было отсутствие запоминающего уст­ройства для хранения команд.

Первой ЭВМ, обладающей всеми компонентами совре­менных машин, была английская машина ЭДСАК,постро­енная в 1949 году в Кембриджском университете.В запоми­нающем устройстве этой машины размещаются числа (запи­санные в двоичном коде) и сама программа.Благодарячисловой форме записи команд программы машина можетпроизводить различные операции.

Под руководством С.А.Лебедева(1902—1974) была раз­работана первая отечественная ЭВМ (электронная вычисли­тельная машина). МЭСМ выполняла всего12 команд, номинальная скорость действий— 50 операций в секунду. Оперативная память МЭСМ могла хранить31 семнадцати­разрядное двоичное число и 64 двадцатиразрядные команды. Кроме этого, имелись внешние запоминающие устройства.В1966 году под руководством этого же конструктора была разработана большая электронно-счетная машина (БЭСМ).

Электронно-вычислительные машины используют раз­личные языки программирования— это система обозначе­ний для описания данных информации и программ(алго­ритмов).

Профамма на машинном языке имеет вид таблицы из цифр,каждая ее строчка соответствует одному оператору— машинной команде. При этом в команде,например, пер­вые несколько цифр являются кодом операции, т.е.указы­вают машине, что надо делать(складывать,умножать ит.д.),а остальные цифры указывают,где именно в памяти машины находятся нужные числа(слагаемые,сомножите­ли)и где следует запомнить результат операций (суммупроизведений и т.д.).

Язык программирования задается тремя компонентами:алфавитом,синтаксисом и семантикой.

Большинство языков программирования(БЕЙСИК, ФОРТРАН,ПАСКАЛЬ, АДА,КОБОЛ, ЛИСП),разрабо­танных к настоящему времени, являются последовательны­ми.Профаммы, написанные на них, представляют собой последовательность приказов(инструкций).Они последова­тельно,один за другим,обрабатываются на машине при по­мощи так называемых трансляторов.

Производительность вычислительных машин будет повы­шаться за счет параллельного(одновременного)выполне­ния операций, тогда как большинство существующих язы­ков программирования рассчитано на последовательное вы­полнение операций. Поэтому будущее, видимо,за такими языками программирования,которые позволят описывать саму решаемую задачу,а не последовательность выполненияоператоров.

Упражнения для самопроверки

Развитие... приборов в истории мате- счетных
матики происходило постепенно.От ис­
пользования частей собственного тела — пальцев руки
...—к использованию различных специ- абак
ально создаваемых устройств: ...линей- логарифмическая
ка,счеты, ... , аналитическая машина и вычислительная
электронно-... машина.

Программами для ... машин являются электронно-вычисли-

таблицы из цифр. тельных

Компонентами языков программирова­
ния являются алфавит, ... и семантика. синтаксис

§ 7. Становление,современное состояние и перспективы

развитая методики обучения элементам математики детей

дошкольного возраста

Вопросы математического развития детей дошкольноговозраста своими корнями уходят в классическую и народ­ную педагогику.Различные считалки, пословицы,поговор­ки,загадки, потешки были хорошим материалом в обуче­нии детей счету,позволяли сформировать у ребенка поня­тия о числах, форме,величине,пространстве и времени. Например,

Сорока-белобока Кашу варила, Деток кормила.

Этому дала,Этому дала И этому дала, А этому не дала:

— Ты воды не носил, Дрова не рубил, Кашу не варил — Нет тебе ничего.

Первая печатная учебная книжка И .Федорова«Букварь» (1574г.) включала мысли о необходимости обучения детейсчету в процессе различных упражнений.Вопросы содержа­ния методов обучения математике детей дошкольного воз­раста и формирования у них знаний о размере, измерении,о времени и пространстве можно найти в педагогических тру­дах Я.А. Коменского,М.Г.Песталоцци,К.Д.Ушинского,Ф.Фребеля,Л.Н.Толстого и других.

Так,Я.А.Коменский(1592—1670) в книге«Материнская школа» рекомендует еще до школы обучать ребенка счету в пределах двадцати, умению различать числа большие—мень­шие,четные—нечетные,сравнивать предметы по величине, узнавать и называть некоторые геометрические фигуры, пользоваться в практической деятельности единицами изме­рения:дюйм, пядь, шаг,фунт и др.

В классических системах сенсорного обучения Ф.Фребеля(1782—1852) и М.Монтессори(1870—1952) представлена методика ознакомления детей с геометрическими фигура­ми,величинами,измерением и счетом. Созданные Фребелем «дары» и в настоящее время используются в качестве дидак­тического материала для ознакомления детей с числом,фор­мой,величиной и пространственными отношениями.

О значении обучения детей счету до школы неоднократ­но писал К.Д.Ушинский(1824—1871). Он считал важным научить ребенка считать отдельные предметы и их группы, выполнять действия сложения и вычитания,формироватьпонятие о десятке как единице счета.Однако все это было лишь пожеланиями,не имеющими никакого научного обо­снования.

Особое значение вопросы методики математического раз­вития приобретают в педагогической литературе начальной школы на рубеже XIX—XXст. Авторами методических реко­мендаций тогда были передовые учителя и методисты.Опыт практических работников не всегда был научно обоснован-

ным,зато был проверен на практике.Со временем он усовер­шенствовался,сильнее и полнее в нем выявилась прогрессив­ная педагогическая мысль. В концеXIX— в начале XXстоле­тия у методистов возникла потребность в разработке научного фундамента методики арифметики.Значительный вклад в раз­работку методики сделали передовые русские учителя и мето­дисты П.С.Гурьев,А. И .Гольденберг,Д.Ф.Егоров,ВАЕвту-шевский,ДД.Галанин и другие.

Первые методические пособия по методике обучения дош­кольников счету, как правило,были адресованы одновре­менно учителям, родителям и воспитателям.На основе опы­та практической работы с детьми В.А.Кемниц издала мето­дическое пособие «Математика в детском саду»(Киев, 1912), где основными методами работы с детьми предлагаются бе­седы,игры, практические упражнения.Автор считает необ­ходимым знакомить детей с такими понятиями,как: один,много,несколько,пара, больше,меньше, столько же, поровну,равный,такой же и др. Основной задачей является изучение чисел от 1 до 10, причем каждое число рассматривается от­дельно.Одновременно дети усваивают действия над этими числами.Широко используется наглядный материал.

В ходе бесед и занятий дети получают знания о форме, пространстве и времени, о делении целого на части, о вели­чинах и их измерении.

Вопросы о методах, содержании обучения детей счету и математическом развитии в целом, которые могли бы стать основой для успешного дальнейшего обучения их в школе, особенно остро дебатировались в дошкольной педагогике с момента создания широкой сети общественного дошкольно­го воспитания.

Наиболее крайняя позиция сводилась к запрещению лю­бого целенаправленного обучения математике.Наиболее чет­ко она отражена в работах К.ФЛебединцева.В книге «Разви­тие числовых представлений в раннем детстве»(Киев, 1923) автор пришел к выводу,что первые представления о числах в пределах5 возникают у детей на основе различения групп предметов,восприятия множеств. А дальше, за пределами этих небольших совокупностей,основная роль в формиро­вании понятия числа принадлежит счету, который вытесня­ет симультанное(целостное)восприятие множеств. При этом он считал желательным,чтобы ребенок добывал знания в этот период «незаметно»,самостоятельно.К такому выводу К.Ф.Лебединцев пришел на основе наблюдений за усвоени­ем детьми первых числовых представлений и овладением ими

счетом.Дети на самом деле очень рано начинают выделятьнекоторые небольшие группы однородных предметов и ,под­ражая взрослым, называть это числом. Но эти знания ещенеглубоки,не достаточно осознанны.Умения детей называть числа не всегда являются объективным показателем матема­тических способностей. И все-таки в20- е годы многие мето­дисты,воспитатели приняли точку зрения К.Ф.Лебединце-ва.По их мнению,числовые представления возникают уребенка главным образом благодаря целостному восприятиюнебольших групп однородных предметов,находящихся в окружающей среде (руки,ноги, ножки стола, колеса у ма­шины и т.д.). На этом основании считалось необязательнымобучать детей счету.

Однако передовые педагоги-« дошкольники »в 20—30- е годы(Е. И .Тихеева,Л.К.Шлегер и др.) отмечали,что про­цесс формирования числовых представлений у детей очень сложный, и поэтому необходимо целенаправленно обучать их счету. Основным способом обучения детей счету призна­валась игра. Так, авторы книги «Живые числа, живые мысли и руки за работой»(Киев, 1920) Е.Горбунов-Пасадов и И.Цунзер писали, что в свою деятельность— игру ребенокпытается внедрить то,что ему интересно в данный момент.Поэтому ознакомление с элементами математики должно основызаться на активной деятельности ребенка. Считалось,что,играя, дети лучше усваивают счет, лучше знакомятся с числами и действиями над ними.

Большинство педагогов20—30-х годов отрицательно от­носились к необходимости создания программ для детскогосада,к целенаправленному обучению. В частности,Л.К.Шле­гер утверждала,что дети должны свободно выбирать себе занятия,по собственному желанию, т.е.каждый может де­лать то, что он задумал,выбирать соответствующий матери­ал,ставить себе цели и достигать их. Эта программа,по ее мнению,должна опираться на естественные наклонности и стремления детей. Роль воспитателя заключалась бы только всоздании условий, способствующих самообучению детей. Л.К.Шлегер считала, что счет следует соединять с различ­ными видами деятельности ребенка, а воспитатель должен использовать различные моменты из жизни детей для уп­ражнений их в счете.

В работах Е . И .Тихеевой,М.Я.Морозовой и других под­черкивалось,что знания о первых десяти числах ребенок дол­жен усвоить еще до школы и при этом усвоить их «без вся­ких систематических занятий и специальных приемов учеб-

ного характера».В работе «Современный детский сад,его зна­чение и оборудование»(Петербург,1920) авторы отмечали,что сама жизнь детского сада,занятия детей,игра предос­тавляют огромное количество моментов, которые можно ис­пользовать для усвоения детьми счета в пределах,доступных их возрасту, и усвоение это полностью непринужденно.Лег­ко закладывается в душу ребенка тот фундамент математи­ческого мышления, который так необходим как ученику,так и учителю, если школа (детский сад) стремится к науч­ному и систематическому обучению.

Е . И .Тихеева четко представляла себе содержание озна­комления детей дошкольного возраста с числом и со счетом и неоднократно подчеркивала,что современная методика стремится к тому, чтобы подвести детей к усвоению знаний самостоятельно,создавая для ребенка условия,обеспечива­ющие ему самостоятельный поиск познавательного материа­ла и использование его. Она писала,что учить детей вычис­лениям не следует,однако ребенок должен усвоить первый десяток,конечно, до школы. Все числовые представления,доступные детям этого возраста, они должны брать из жиз­ни,в которой принимают деятельное участие. А участие ре­бенка в жизни при нормальных условиях должно выражать­ся лишь в одном— работе, игре,т. е . играя, трудясь,живя, ребенок обязательно сам научится считать, если взрослые будут при этом для него незаметными помощниками и ру­ководителями.

В работе «Счет в жизни маленьких детей» (1920) Е . И .Ти­хеева также выступала против «притеснения и насилия» в математическом развитии ребенка.Хотя она высказываласьпротив систематического обучения на занятиях, предлагая ознакомление детей с числом в процессе организации раз­нообразных игр и режимных моментов, но возражала и про­тив стихийного воспитания ребенка. Полностью справедливоона рассматривала сенсорное восприятие как главный источ­ник математических знаний. Понятие о числе должно вхо­дить в жизнь ребенка только в «неразрывном единстве спредметами»,которые находятся вокруг ребенка.В связи с этим автор обращает внимание на наличие необходимого на­глядного материала в детском саду и дома. После того как те или другие числовые представления получены ребенком,можно использовать игры-занятия.Автор рекомендует спе­циальные игры-занятия с дидактическими материалами для ознакомления и закрепления этих представлений,углубле­ния необходимых умений в счете.

Понимая,что стихийное овладение числовыми представ­лениями не может иметь должной последовательности,сис­темности, Е . И .Тихеева в качестве средств систематизациизнаний предлагала специальные наборы дидактического ма­териала.В качестве счетного материала она рекомендовалаиспользовать природный материал: камешки,листья, бобы,шишки и др. Она создала дидактический материал типа пар­ных картинок и лото, разработала задачи на закреплениеколичественных и пространственных представлений.

Содержание математических знаний Е . И .Тихеева пред­ставляла достаточно широко. Это и ознакомление с величи­ной,измерением,цифрами, даже дробями. Значительноеместо в содержании обучения математике Е . И .Тихеева отво­дила формированию у детей представлений о величине и мере.Считала важным раскрытие перед детьми функцио­нальной зависимости между результатом измерения и вели­чиной меры. Все виды измерения должны быть целесообраз­ными,связанными с практическими задачами, например с игрой в магазин(«лавочку»).

К сожалению, Е . И .Тихеева совершенно не оценила роли коллективных занятий, считая их навязанными ребенку из­вне.Она предполагала,что в детском саду познания детей будут разными; степень их развития не одинаковая,но это «не должно пугать воспитателя».Хотя автор нигде не даетконкретных рекомендаций,как же работать с детьми разно­го уровня развития .

Е . И .Тихеева внесла определенный вклад в развитие мето­дики обучение детей счету, определив объем знаний,доступ­ных«дошколятам».Большое внимание ею было уделено озна­комлению детей с отношениями между предметами разной величины:больше—меньше,шире—уже,короче—длиннее и др. Прекрасный мастер-практик,глубоко знающий ребенка, она чувствовала необходимость обучения,последовательного ус­ложнения учебного материала,хотя признавала в основномтолько индивидуальное обучение. По сути дела, Е . И .Тихеева не разработала и не обосновала теоретически методику обуче­ния счету, не показала основных путей овладения детьми начальными математическими знаниями, однако созданные ею дидактический материал и дидактические игры использу­ются и в современной педагогической практике.

В конце 30-х годов происходит отход от неорганизованно­го обучения в детском саду, и с этого момента возникаютпроблемы,связанные с определением содержания,методов обучения детей разных возрастных групп детского сада.

Значительным этапом в разработке методик развития ма­тематических представлений были работы Ф.Н.Блехер. Буду­чи новатором-практиком своего времени в области дошколь­ного воспитания,она разработала,опробовала и предложилавоспитателям широкую программу обучения дошкольников начальным знаниям по математике.Так, в методических ре­комендациях воспитателям нулевых групп детских садов(1932)она раскрывает методику организации упражнений,направленных на формирование понятий о величине,коли­честве,пространстве,времени и измерении.Хотя в целом книга «Научимся считать» рассчитана на индивидуальное использование,однако в ней много материала,позволяю­щего объединять детей. Чтобы воспитателю было легче рас­пределять материал, все содержание пособия поделено на уроки(81 урок) — так автор называет занятия.