Тема 1.1.5 Разбиение на части

Под классификацией в науке понимают логическую операцию, состоящую в разбиении всего множества по каким – либо свойствам на подмножества, при этом должны выполняться условия:

1) ни одно из подмножеств не пусто;

2) подмножества попарно не пересекаются;

3) объединение всех подмножеств совпадает с самим множеством.

Классификацию можно выполнить:

1) путем указания признака (класс имеющих и не имеющих указанный признак).

Если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разобъется на 2 класса (I – объекты, которые обладают эти свойством , II – не обладают).

Например, множество натуральных чисел по признаку быть двузначным числом, или быть кратным 3.

Классификация – это наведение порядка в множестве (все «вещи» раскладываются по «полочкам»). Ни один предмет не может находиться одновременно на 2-х полках, кроме того, все до одного предмета должны быть убраны).

Упражнения

1. Даны два множества: X = {2, 4, 6} и Y = {0, 2, 4, 6, 8}.
Верно ли что:

а) множества X и Y пересекаются;

б) множество X является подмножеством множества Y;

в) множество Р = {4, 0, 6, 8, 2} равно множеству У?

2. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите
числа, которые:

а) делятся на 3; б) делятся на 9;

в) не делятся на 4; г) не делятся на 5.

Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К!

3. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения меж­ду множествами Си D, если:

а) С - множество двузначных чисел,
D = {3,43, 34, 56, 103};

б) С - множество двузначных чисел,

D - множество четных натуральных чисел;

в) С - множество двузначных чисел,
D - множество трехзначных чисел;

г) С - множество двузначных чисел,

D - множество натуральных чисел, не меньших 10.

4. Какое из данных множеств является подмножеством другого:

а) А - множество натуральных чисел, кратных 2,
В - множество натуральных чисел, кратных 6,
С - множество натуральных чисел, кратных 3.

б) А - множество треугольников,

В - множество прямоугольных треугольников, С- множество остроугольных треугольников.

Пересечение множеств:

1) Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так получен­ное множество С называют пересечением множествА и В.

(

Определение. Пересечением множеств А иВ называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А и множеству В. Пересечение множеств А и В обо­значают А В. Таким образом, по оп­ределению, А В = {х|х А и х В}. Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пере­сечением данных множеств является заштрихованная область .

В том случае, когда множества А и В не. имеют общих эле­ментов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = 0.

2) Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?

Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В- двузначных чисел. Ха­рактеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свой­ство элементов множества В- «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными нату­ральными и двузначными числами». Таким образом, множе­ство А В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 А В, поскольку число 24 четное и двузначное.

Упражнения

1. Найдите пересечение множеств А и В, если:

a)A = {a,b,c,d,e,f},B={b,e,f,k}

б) А = {26,39,5,58, 17,81}, В= {17,26,58}.

в) А = {26,39,5,58, 17, 81}, В= {17, 26, 58, 5, 39, 81}.

2.Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

3.М- множество однозначных чисел, Р- множество не­четных натуральных чисел. Из каких чисел состоит пересече­ние данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

4.Начертите два треугольника так, чтобы их пересечени­ем: а) был треугольник; б) был отрезок; в) была точка.

Объединение множеств

1) Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принад­лежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В: D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множе­ство D называют объединением множеств А и В.

(

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, кото­рые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, А и В = {х \ х А или х В}.

РИСУНОК:

Если множества заданы характеристическими свойствами их элементов, то надо использовать союз « или».

2)Найдем, например, объединение множества А - «быть четным натуральным числом», а свойство элементов множества В- «быть двузначным числом», то в объ­единение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых- «быть четным натуральным или двузнач­ным числом». Тогда Д=А В

Пример: 8 А В , 36 А В

3)Рассмотрим теперь случай: А В=А,т.е. В А , характеристическое свойство элементов множества А и В будет таким, как и свойство элементов множества А.

Упражнения

1. Найдите объединение множеств А и В, если:

а) А = {а, Ъ, с, d, e,f), В = {Ь, e,f, k).

6)А = {26,39,5,58, 17, 81}, В= {17,26,58}.

в)А = {26,39,5,58, 17, 81}, В= {17,26,58,5,39,81}.

2. Из каких элементов состоит объединение множества букв м слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

3. М - множество однозначных чисел, Р- множество не­четных натуральных чисел. Из каких чисел состоит объедине­ние данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

4. Используя координатную прямую, найдите объединение множеств решений неравенств, в которых х- действительное число:

а) х > -2 и х > 0; . в) х 5 и х < -7,5;

б) х > -3,7 и х 4; г) -2 <х < 4 и х -1;

д)-7 х 5 и -6 х 2.

8. Начертите две фигуры, принадлежащие объединению множеств С и D, если:

а) С-множество ромбов,

D - множество прямоугольников;

б) С - множество равнобедренных треугольников,
D - множество прямоугольных треугольников.