Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. По другому: суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
В частности, если два события А и В - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пусть события А и В - несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В?
Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
.
Доказательство. Введем обозначения: n - общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 - число исходов, благоприятствующих .событию А; m2 - число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,
,
так как 
. Чтд.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
.
Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, S синих я 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А)
Р (А) = 10/30= 1/3.
Вероятность появления синего шара (событие В)
Р(В)= 5/30 =1/6.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
P(A+B) = P(A) + P(B) = 1/3+1/6= 1/2.
Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, ... , Аn, образующих полную группу, равна единице:
P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать 
.
Пример. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А - попадание, то - промах.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = 1
Пример. Вероятность того, что день будет дождливым р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность q = 1 – p = 1 – 0,7 = 0,3.
Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле
.
Пример. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.
Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» -противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе - через .
Очевидно,
.
Найдем 
. Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно 
. Число нестандартных деталей равно n - m; из этого числа деталей можно 
способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что_среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна 
.
Искомая вероятность
.
Произведение событий
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Например, если А, В, С - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Условная вероятность
Часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.
Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность
РА(В)= 3/5.