Электромагнитные колебания и волны

Основные законы и формулы

· Закон Био-Савара-Лапласа для элемента проводника с током

, или ,

где m – магнитная проницаемость изотропной среды;

m₀ – магнитная постоянная (m₀ = 4p×10^-7 Гн/м);

– радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция поля;

α – угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода.

· Магнитная индукция поля, созданного:

а) бесконечно длинным прямым проводником с током

,

где r₀ – расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция;

б) в центре кругового витка с током

,

где R – радиус витка;

в) отрезком проводника с током (рис. 21,а)

.

Обозначения ясны из рисунка.

B

B

б)

а)

r0

r0

I

I

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рисунок 21,б) – , тогда

.

г) бесконечно длинным соленоидом на его оси (внутри соленоида)

,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине.

д) на оси кругового тока

,

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

· Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

.

· Сила действующая на прямой провод с током в однородном магнитном поле (закон Ампера)

, или ,

где l – длина провода;

a – угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции .

Если поле неоднородно и провод не является прямым, то:

где – элемент провода с током I.

· Магнитный момент плоского контура с током I:

,

где – единичный вектор нормали к плоскости контура, направление которой определяется в соответствии с правилом буравчика;

S – площадь контура.

· Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле

,или ,

где α – угол между векторами и .

· Сила Лоренца

, или ,

где – скорость заряженной частицы;

α – угол между векторами и .

Если заряженная частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение:

.

· Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

, или ,

где S – площадь контура;

α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции ;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:

,

(интегрирование ведется по всей поверхности).

· Потокосцепление (полный поток)

.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

· Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

.

· Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея)

.

· ЭДС самоиндукции

.

· Индуктивность контура

.

· Индуктивность соленоида, имеющего N витков

, или ,

где – отношение числа витков соленоида к его длине;

– объем соленоида.

· Разность потенциалов на концах провода длиной l, движущегося со скоростью в магнитном поле

,

где α - угол между векторами и .

· Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур

, или ,

где R – сопротивление контура.

· Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) при замыкании цепи

,

где – сила тока цепи при t = 0;

t – время, прошедшее после замыкания цепи.

б) при размыкании цепи

,

где t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

· Энергия магнитного поля

.

· Объемная плотность энергии магнитного поля

,

где B – магнитная индукция;

H – напряженность;

V – объем магнитного поля.

· Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора )

.

· Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего ток I (закон полного тока для тока проводимости)

,

где H_l – проекция вектора напряженности на направление касательной к контуру, содержащей элемент dl;

I – сила тока, который охватывается контуром.

· Период собственных электромагнитных колебаний в контуре (формула Томпсона)

,

где L – индуктивность;

C – электроемкость контура.

При наличии потерь в контуре (при наличии омического сопротивления R) собственные колебания являются затухающими, причем период колебаний

,

а сила тока в контуре изменяется по закону затухающих колебаний:

.

· Скорость распространения электромагнитных волн в среде

,

где с – скорость электромагнитных волн в вакууме (с = 3×10⁸ м/с);

e – диэлектрическая проницаемость среды;

m – магнитная проницаемость среды.

	Рисунок 31

Примеры решения задач

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода А и С, по которым текут в одном направлении токи силой I₁ = I₂ = I = 50 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке D, отстоящей от оси одного провода на расстоянии r₁ = 5 см, от другого – на r₂= 12 см.

Дано:	Решение:
I1 = I2 = I = 50 А d = 10 см = 0,10 м r1 = 5 см = 0,05 м r2 = 12 см = 0,12 м	Воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций и полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:
-?

.

Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:

,

где α – угол между векторами и .

Рис. 22

; .

Тогда

. (*)

Угол α =ÐADC – как углы при вершинах треугольников с взаимно перпендикулярными сторонами.

Из DАDС по теореме косинусов запишем:

, откуда .

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

.

Подставив в формулу (*) числовые значения физических величин, получим:

Ответ: В = 357,1 мкТл.

Пример 2. Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной l = 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом R = 10 см так, что стороны угла являются касательными к нему (рисунок 23, а). Найти индукцию магнитного поля в центре кольца. Силы токов в проводниках одинаковы и равны I = 2 А. Влияние проводящих проводов не учитывать.

Рисунок 23

Дано:	Решение:
l = 20 см = 0,20 м R = 10 см = 0,10 м I1 = I2 = I = 2 А	Воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Вектор магнитной индукции суммарного поя в точке О ,
В-?

где – индукция магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником, согнутым в виде прямого угла;

– кругового проводника радиусом R.

Эти векторы перпендикулярны плоскости, в которой лежат прямой проводник АВ и круговой проводник радиусом R = r₀, и совпадают по направлению (направлены на нас). Магнитная индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ прямого проводника на расстоянии r₀ от него (рисунок 23,б) равна . Заметим, что при симметричном расположении точки М относительно отрезка АВ провода эта формула примет вид:

,

так как , а α₁ = 45°.

Индукция от двух сторон угла составляет:

, где

Индукция магнитного поля в центре окружности радиуса R=r₀ равна

.

Результирующая индукция магнитного поля в центре кольца

.

Произведем вычисления:

(Тл).

Ответ: В=18,2×10^-6 Тл=18,2 мкТл.

Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Дано:	Решение:
R = 10 см = 0,10 м I = 8 А r = 20 см = 0,20 м	Выделим на кольце элемент проводника dl с током I и от него в точку А проведем радиус-вектор (рисунок 24). Вектор магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока в точке А, направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием:

,

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор на две составляющие: , параллельную плоскости кольца, и перпендикулярную плоскости кольца, т. е.

.

Тогда .

В силу симметрии . Векторы от различных элементов dl сонаправлены, поэтому скалярное значение вектора будет равно:

,

где и (по закону Био-Савара-Лапласа). Так как вектор перпендикулярен , то sin α =1. Следовательно,

,

где (рис. 24).

Тогда получим: .

Проверим размерность искомой величины :

.

Произведем вычисления:

Ответ: Вектор направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рисунке 24) и численно равен 62,8 мкТл.

Пример 4. По тонкому стержню длиной l = 50 см равномерно распределен заряд q = 60 нКл. Стержень вращается с частотой ν = 12 с^–1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень на расстоянии а = l от одного из его концов. Определить магнитный момент P_m, обусловленный вращением стержня.

Дано:	Решение:
l =50 см = 0,50 м q = 60 нКл = 60×10-9 Кл ν = 12 с–1 а = l	По определению магнитный момент плоского контура с током I равна , где – единичный вектор нормали к плоскости контура S. Выделим элемент стержня длиной
Pm -?

dr с зарядом на нем . При вращении стержня относительно оси О элементарный круговой ток в данном случае определяется выражением

,

где n - частота вращения стержня. Магнитный момент элементарного кругового тока dP_m = S×dI, где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой элементом стержня dr с зарядом dq (S = pr², где r – радиус этой окружности (рис. 25)).

Тогда .

Магнитный момент P_m, обусловленный вращением стержня длиной l вокруг оси О, определяем интегрированием двух частей стержня:

,

где 0, и – пределы интегрирования.

.

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: P_m = 62,8 нА×м².

Пример 5. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом α = 120°. Определить магнитную индукцию в точке А (рисунок 26). Расстояние

d = 5 см.

	Рисунок 26

Дано:	Решение:
I = 50 A α = 120° d = 5 см = 5×10-2 м	Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рисунок 27). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точ-
-?

Рисунок 27

ке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций и полей, создаваемых отрезком длинных проводов 1 и 2, т.е. . Магнитная индукция равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси провода, ; ( ; у нас ).

Магнитную индукцию В₁ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода с током I:

,

где r₀ – кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А. В нашем случае α₁®0 (провод длинный), , α₂ = α = 120° (cos α₂ = cos 120° = = ). Расстояние

Тогда магнитная индукция

.

Так как (B₂=0), то .

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рисунке 27 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас)

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Рисунок 24

Произведем вычисления:

.

Ответ: В=173 мкТл.

Пример 6. Бесконечно длинный провод с током I = 80 А изогнут так, как это изображено на рисунке 28. Определить магнитную индукцию в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

Дано:	Решение:
I = 80 A R = 10 см = 0,1 м	Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: .
-?

Разобьем провод на пять частей (рисунок 29): три прямолинейных (1,3 и 5) и две дуги полуокружностей (2 и 4) радиусами R и 2R. Тогда

,

где , , , и – магнитные индукции поля в точке О, создаваемые током I, текущим на выделенных пяти участках длинного провода. Так как точка О лежит на оси проводов 1 и 3, то и . Тогда .

Учитывая, что в соответствии с правилом буравчика векторы и направлены перпендикулярно плоскости чертежа на нас, вектор – перпендикулярно плоскости чертежа от нас, векторную сумму можно заменить алгебраической: В = В₄+В₅ – В₂.

Магнитные индукции В₂ и В₄ в точке О создаются лишь половинами кругового тока, поэтому (в соответствии с законом Био-Савара-Лапласа):

;

.

Магнитную индукцию В₅ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода с током I:

.

В нашем случае , ( ), ( ). Тогда

.

Используя найденные выражения для В₂, В₄ и В₅, получим

.

.

Произведем вычисления:

Ответ: В = 205,6 мкТл.

Пример 7. На упругой нити, постоянная кручения которой С = 9,8×10^-6 Н×м/рад, подвешена квадратная рамка со стороной а = 3 см, содержащая N = 200 витков тонкого провода. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I = 1 А она повернулась на угол j = 60°.

Дано:	Решение:
С = 9,8×10-6 Н×м/рад a = 3 см = 0,03 м I = 1 А j = 60° N = 200	На рамку действуют два вращающих момента сил: – момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током I, и – момент упругих сил, возникающих при закручивании
В-?

нити, на которой подвешена рамка. Рамка бу дет находиться в равновесии при выполнении условия:

.

Направления этих моментов противоположны друг другу, поэтому получим:

, (1)

Рисунок 30

где (P_m – магнитный момент рамки с током, В – индукция магнитного поля, α – угол между нормалью к плоскости рамки и направлением линий индукции магнитного поля, рис. 30);

(С – постоянная кручения, показывающая величину момента упругой силы, возникающей при повороте рамки на угол, равный единице, j – угол поворота рамки).

Если учесть, что , где I – сила тока в рамке, S – площадь рамки, а – сторона квадратной рамки, N – число витков рамки; равенство (1) можно переписать в виде:

,

откуда (2)

Из рис. 30 видно, что , значит, . С учетом этого равенство (2) примет вид:

.

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

.

Ответ: В=11,4×10^-5 Тл.

Пример 8. Магнитное поле создано кольцевым проводником радиусом R = 20 см, по которому течет ток I = 100 А. На оси кольца расположено другое кольцо малых размеров с магнитным моментом P_m = 10^-2 А×м². Плоскости колец параллельны, а расстояние между ними х = 1 см. Определить силу, действующую на малое кольцо.

Дано:	Решение:
R = 20 см = 0,2 м I = 100 А Pm = 10-2 А×м2 x = 1 см = 0,01 м	В неоднородном магнитном поле на контур действует сила ,
F-?

где – изменение вектора индукции магнитного поля, рассчитанного на единицу длины вдоль направления, совпадающего с вектором .

Индукция магнитного поля на оси кругового тока

,

где х – расстояние от центра кольца до точки, в которой определяется магнитная индукция. Тогда

и .

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу силы (Н):

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: F = 1,35 мкН.

Пример 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,5 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 8 см. Определить магнитный момент P_m эквивалентного кругового тока.

Дано:	Решение:
В = 0,5 Тл R = 8 см	Движение электрона в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда электрон влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям
Pm-?

индукции . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости , то она сообщит электрону центростремительное ускорение .

Пусть линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас», тогда направление вектора и траектория электрона указаны на рисунок 32.

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением

,

где е – заряд электрона;

Т – период его обращения.

Период обращения ,

где 2pR – длина окружности (путь, проходимый электроном за период Т со скоростью ).

Тогда .

Магнитный момент P_m эквивалентного кругового тока ,

Где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном ( ). Следовательно

. (*)

Так как , или , то . Подставив это выражение в равенство (*), получим

,

где е = 1,6×10^-19 Кл, m = 9,1×10^-31 кг.

Произведем вычисления:

Ответ: P_m = 7,03 пА×м².

Пример 10. Электрон движется в однородном магнитном поле (В=10 мТл) по винтовой линии, радиус которой R = 1 см и шаг и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость .

Дано:	Решение:
В = 10 мТл = 10×10-3 Тл R = 1 см = 10-2 м h = 6 см = 6×10-2 м	Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом ( ) к линиям
Т-? -?

магнитной индукции. Разложим, как показано на рисунке 33, скорость электрона на две составляющие:

.

По модулю , где ; .

На электрон действует сила Лоренца

Рисунок 33

Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение . Согласно второму закону Ньютона можно написать , или , откуда . Период обращения электрона связан с составляющей скорости соотношением

.

Тогда получим: .

Произведем вычисления:

.

За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

.

Модуль скорости электрона

.

Рисунок 44

Рисунок 43

Рис. 44

Подставим числовые значения величин и произведем вычисления:

Ответ: Т = 3,57 нс, = 24,6 Мм/с.

Рисунок 46

Рисунок 45

Пример 11. Катушка, содержащая N = 1000 витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α = 60° с линиями поля. Площадь катушки S = 100 см².

Дано:	Решение:
N = 1000 n = 10 с-1 В = 0,04 Тл α = 60° S = 100 см2 = 10-2 м2	По закону Фарадея-Максвелла: . Потокосцепление , где N – число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф.
ei-?

Тогда получим: .

Магнитный поток, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону , где ω – угловая скорость катушки ( ).

Мгновенное значение ЭДС индукции:

.

Если учесть, что угол (рисунок 34), а , то получим

.

Произведем вычисления:

Ответ: ε_i =12,56 В.

Пример 12. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол j = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Дано:	Решение:
а = 5 см = 5×10-2 м R = 10 мОм = 10-2 Ом В = 40 мТл = 4×10-2 Тл j = 60°	При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникает ЭДС индукции

Эта ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого, согласно закону Ома для полной цепи, равно , R – сопротивление рамки. Тогда .

Так как мгновенное значение силы индукционного тока , то это выражение можно переписать в виде , откуда

.

Проинтегрировав это выражение, найдем:

, или .

Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф₂=0, последнее равенство перепишется в виде .

По определению магнитного потока имеем , где S – площадь рамки. Рамка квадратная, т.е. S = а². Тогда и

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: q = 8,67 мКл.

Пример 13. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) j₁ = 90°; 2) j₂ = 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано:	Решение:
Чугун Сталь а = 10 см = 0,1 м I = 100 А В = 1 Тл j1= 90° j2= 3°	На контур с током в магнитном поле действует момент силы (рисунок 35) , (1) где – магнитный момент контура; В – магнитная индукция;
А1-? А2-?

Н, А/м

j – угол между векторами и .

Рисунок 35

Рисунок 36

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, j = 0, т.е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будут стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме .

Учитывая формулу (1), получаем

.

Работа А при повороте на конечный угол j равна

. (2)

1. Работа при повороте на угол j₁= 90°

.

Произведем вычисления:

.

2. Работа при повороте на угол j₂= 3°.

В этом случае, учитывая, что угол j₂ мал, заменим в выражении (2) :

.

Выразим угол j₂ в радианах: j₂ = 3° = 0,0523 рад. Тогда

.

Ответ: А₁ = 1 Дж; А₂ = 1,37 мДж.

Пример 14. По соленоиду течет ток I = 5 А. Длина соленоида l = 1 м, число витков N = 500. В соленоид вставлен железный сердечник. Найти намагниченность j и объемную плотность энергии магнитного поля w соленоида.

Дано:	Решение:
I = 5 А L = 1 м N = 500	Намагниченность определяется отношением магнитного момента к объему магнетика и связана с напряжённостью магнитного поля соотношением , где χ – магнитная восприимчивость среды.
j-? w-?

Поле соленоида можно считать однородным. В этом случае напряжённость поля вычисляется по формуле ,

где – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Связь между магнитной восприимчивостью χ и магнитной проницаемостью μ среды выражается формулой .

Используя соотношение , находим .

Тогда получим: ;

. (*)

Определим напряженность магнитного поля соленоида

.

По графику на рис. 36 находим, что напряжённости Н = 2500 А/м соответствует индукция магнитного поля В = 1,45 Тл.

Подставим в формулу (*) значения физических величин и произведём вычисления:

.

Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по формуле

.

Ответ: j = 11,52 А/м; ω = 1812,5 Дж/м³.

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3

Вар.	Номера задач

301. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это показано на рис. 37. Радиус дуги окружности R=10 см. Определите магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I=50 А, текущим по этому проводу.

302. Магнитный момент тонкого проводящего кольца =5 А×м². Определите магнитную индукцию в точке А, находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r =20 см (рисунок 38).

303. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I₁=100 А и I₂=200 А. Определите магнитную индукцию в точке А (рисунок 39). Расстояние d=10 см.

304. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I₁=100 А и I₂=200 А. Определите магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d=20 см (рисунок 40).

305. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке 41, течет ток I=200 А. Определите магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=15 см.