Для данной схемы видно, что условие соосности можно выразить так

r₃ = r₁+ r₂ + r₂_¢ .

(15)

С учетом того, что

(16)

Получаем

(17)

После сокращения на условие соосности имеет вид (см. выражение (15)

z₃ = z₁+ z₂ + z₂_¢ =42 + 16 + 24 = 82.

Выходным звеном является водило H, поэтому определим передаточное отношение U_1Н.

Графический способ

Спроектируем на ось r точки A, B, O₂, O₁, O_H.

Скорость точкиАвходного звена 1 изобразим вектором Аа произвольной длины. Соединим точку а, конец вектора Аа, с точкой О₁. Полученная линия представляет собой эпюру скоростей точек, расположенных на колесе 1 между точками О₁ и А: чем дальше точка от оси вращения О₁, тем больше её скорость. Отметим угол q₁(тэта–один).Прямую О₁а назовем тэта–линией первого колеса.

Вектор Аатакже представляет скорость точки А, принадлежащей оси второго колеса. Сателлит 2, обкатывается по венцу колеса 3, поэтому точка контакта В неподвижна, т. е. является мгновенным центром скоростей сателлита. Длина вектора скорости этой точки Bb равна нулю, точки B и b совпали. Соединяем точки а и b, получаем эпюру распределения скоростей точек второго колеса. Отмечаем угол q₂.

Точка О₂ водила принадлежит также и сателлиту, поэтому вектор О₂о₂ изображает скорость точек О₂, принадлежащих и водилу, и сателлиту.

Ось вращения водила – О_Н. Соединяем точки о₂ и О_Н: тэта-линия о₂О_Н представляет собой эпюру распределения скоростей точек водила, заключенных между точками механизма О_Н и о₂. Отмечаем угол q_H.

Проводим линию f – f перпендикулярно прямой r в произвольном месте. Откладываем от нее отрезок вдоль прямой r произвольной длины: Ор. Из точки р проводим прямые, параллельные всем трем тэта-линиям, до пересечения с прямой

f – f. Точки пересечения обозначим: для угла q₁цифрой 1, для тэта-линии водила – буквой Н, для угла q₂– цифрой 2.

Находим передаточное отношение

(18)

Измеряем отрезки О1 и ОH и получаем

Определим скорость точки А.

Для определения скорости точки О₂ рассмотрим треугольники АВа и .

Из подобия их можно записать

(19)

Поскольку по оси r размеры отложены в одинаковом масштабе, то и векторы скорости точек и , изображены отрезками и также в одинаковом масштабе.

Поэтому

и .

(20)

Тогда

м/с.

Аналитический способ

Определим передаточное отношение U_1Н по формуле Виллиса. В исходном механизме угловые скорости всех колес и водила обозначим w₁, w_Н, w₂, w₃=0. Дадим вращение всему механизму вокруг оси О₃ навстречу вращению водила с угловой скоростью водила (-w_Н). Тогда угловые скорости всех звеньев изменятся на (-w_Н). Первое колесо вместо w₁ будет иметь угловую скорость (w₁-w_Н), второе колесо, сателлит, – (w₂-w_Н), третье колесо, прежде неподвижное, получит угловую скорость (-w_Н). А водило получит скорость (w_Н-w_Н)=0, т. е. остановится. По этой причине ось сателлита станет неподвижной и этот механизм, называемый обращенным, будет не планетарным, а обыкновенным, у которого геометрические оси всех колес не перемещаются в пространстве. Для такого механизма можно записать передаточное отношение от первого колеса к третьему . Верхний индекс Н означает, что водило Н остановлено, неподвижно, в этом обращенном механизме:

(21)

Но передаточное отношение , это есть отношение угловых скоростей первого и третьего колес, но в обращенном механизме:

(22)

Тогда получаем

(23)

Нам же для исходного механизма нужно найти .

Из выражения (23) найдем величину . Величина w₃ = 0, поэтому

Делим почленно на w_Н числитель левой части:

Вычислим

Получили

Расхождение полученных графическим и аналитическим способами результатов определим следующим образом

В случае неточных графических построений расхождение может составить около 5 %.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Лачуга Ю. Ф, Воскресенский А. Н., Чернов М. Ю. Теория механизмов и машин. Кинематика, динамика и расчет: учебн. пособие для вузов. – М.: КолосС, 2008. – 304 с.

2 Родионов С. С., Корнеев Л. А., Королев А. Е. Теория механизмов и машин. Методические указания по выполнению расчетно-графической работы. – Курган, КГСХА, 2010.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение А

ФГБОУ ВПО «Курганская государственная сельскохозяйственная академия им. Т.С.Мальцева»