Апериодическое звено 1-го порядка

Лекция №4. Характеристики типовых звеньев САР

(Слайд 1)

Общие положения

Под типовым звеном понимается такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. На рис. 4.1 представлена классификация типовых звеньев, в соответствии с видом дифференциального уравнения.

(Слайд 2)

Рис. 4.1. Классификация типовых звеньев

Характеристики типовых звеньев более подробно рассмотрены ниже

Безынерционное звено

(Слайд 3)

Безынерционным или идеальным звеном называется звено, которое не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением

. (4.1)

Передаточная функция звена равна постоянной величине

. (4.2)

Безынерционное звено относится к группе позиционных звеньев. Примером такого звена являются делитель напряжения, безынерционный усилитель, редуктор (без учета явления скручивания и люфтов) и т. п.

Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию (рис. 4.2, а), то есть при x₁ = 1(t), x₂ = A(t) = k 1(t).

(Слайд 4)

Рис. 4.2. Переходная функция (а), дельта-функция (б) и АФЧХ (в)

Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k (рис. 4.2, б), то есть при , .

Амплитудно-фазовая характеристика вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии k от начала координат (рис. 4.2, в).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика представляет собой прямую, параллельную оси частот, проходящую на высоте 20 lg k.

Фазовые сдвиги в рассматриваемом звене отсутствуют при любой частоте входного воздействия, то есть y = 0. Поэтому фазовая характеристика совпадает с осью частот и здесь не приводится.

Следует подчеркнуть, что безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ∞. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, например апериодическое или колебательное, если динамическими (переходными) процессами в этом звене можно пренебречь.

Апериодическое звено 1-го порядка

(Слайд 5)

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается уравнением

. (4.3)

Передаточная функция этого звена

. (4.4)

(Слайд 6)

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь (рис. 4.3, а), где входной величиной является напряжение U₁, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U₂ на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

Рис. 4.3. Апериодические звенья первого порядка

Другим примером является RC-цепь (рис. 4.3, б) с коэффициентом передачи k = 1 и постоянной времени T = RC.

(Слайд 7)

Переходная функция звена найдется как решение уравнения (4.3) при x₁ = 1 и начальном условии x₂ = 0 при t = 0. Это решение представляет собой экспоненту (рис. 4.4, а)

. (4.5)

Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается, начиная с момента t = 0, то есть для положительного времени. Во многих случаях этот множитель опускается, но то, что экспонента рассматривается для t ≥ 0 необходимо иметь в виду.

(Слайд 8)

Отрезок, отсекаемый касательной к кривой, в любой точке кривой на асимптоте равен постоянной времени T. Видно, что чем больше постоянная времени звена, тем больше длится переходный процесс, то есть медленнее устанавливается статическое значение x₂ = k на выходе звена.

Строго говоря, экспонента приближается к этому значению в бесконечности. Принято, что переходный процесс считается уже закончившимся через промежуток времени 3T.

Рис. 4.4. Переходная функция (а) и дельта-функция (б)
апериодического звена первого порядка

Постоянная времени характеризует «инерционность» или «инерционное запаздывание» апериодического звена. Выходное значение x₂ = k x₁ в апериодическом звене устанавливается только спустя некоторое время после подачи входного воздействия t_п.

(Слайд 9)

Функция веса (рис. 4.4, б) может быть найдена дифференцированием (4.5)

. (4.6)

Частотная передаточная функция согласно (4.3), её модуль и фаза соответственно равны

; (4.7)

. (4.8)

(Слайд 10)

Все три характеристики изображены на рис. 4.5. АФЧХ для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи звена k .Величина постоянной времени звена Т определяет распределение отметок w вдоль кривой. Три характерные отметки показаны на рис. 4.5, а (w = 0; w = 1 / T и w → µ).

Рис. 4.5. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена первого порядка

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот может быть дополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (показана пунктиром). В результате амплитудно-фазовая характеристика будет представлять замкнутую кривую – окружность.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания малых частот w < 1 / T «пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена k. Колебания больших частот w > 1 / T проходят с сильным ослаблением амплитуды (малое значение А), то есть «плохо пропускаются» или практически «не пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени Т, то есть чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика А(w) вдоль оси частот, или тем шире полоса пропускания частот у данного звена

. (4.9)

Кроме того, чем меньше постоянная времени звена, тем меньше получаются фазовые сдвиги между выходным и входным колебаниями.

(Слайд 11)

Найдем выражения для вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции. Для этого умножим числитель и знаменатель (4.7) на комплекс, сопряженный знаменателю

(4.10)

Отсюда

(4.11)

(Слайд 12)

Построим теперь логарифмические частотные характеристики апериодического звена первого порядка. Для построения ЛАХ здесь и далее будем считать, что коэффициент k безразмерный. Для (4.7) имеем

. (4.12)

Построим приближенную так называемую асимптотическую ЛАХ. Для этой цели на стандартной сетке (рис. 4.6) проведем вертикальную пунктирную прямую при частоте, называемой сопрягающей частотой w = 1 / T.

Для частот, меньших, чем сопрягающая, то есть при w < 1 / T можно пренебречь вторым слагаемым под корнем (4.12), так как w²T² < 1. Тогда левее сопрягающей частоты (рис. 3.14) можно заменить (3.37) приближенным выражением L(w) » 20 lgk при w < 1 / T, которому соответствует прямая линия, параллельная оси частот (прямая а-b).

Для частот, больших, чем сопрягающая в выражении (3.37), можно пренебречь единицей по сравнению с ω²Т² . Тогда вместо (3.37) будем иметь приближенное выражение L(w) » 20 lg(k / wT) при w > 1 / T, которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b-с).

Рис. 4.6. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена первого порядка

Ломаная линия а-b-с и называется асимптотической (приближенной) ЛАХ. Как было видно, построение ее производится весьма просто – практически без вычислительной работы. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет несколько отличаться от асимптотической, причем наибольшее отклонение будет в точке b. Оно равно – 3 дБ, так как

, (4.13)

что в линейном масштабе соответствует отклонению в раз.

На всем остальном протяжении влево от сопрягающей частоты действительная ЛАХ будет отличаться от асимптотической менее чем на 3 дБ. Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограничиться построением асимптотической ЛАХ.

На том же рис. 4.6 показана логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ). Характерной ее особенностью является сдвиг по фазе, равный
– 45° при сопрягающей частоте (так как – arctg wT = – arctg 1 = – 45°), и симметрия ЛФХ относительно сопрягающей частоты. Для частоты w = 0 фазовый сдвиг y = 0 и при w → ∞ фазовый сдвиг y → – 90°.