Апериодическое (инерционное) звено

Апериодическим (инерционным) называют звено, в котором при подаче на вход ступенчатого сигнала выходная величина апериодически (по экспоненте) стремится к новому установившемуся значению.

Уравнение апериодического звена:

где Т – постоянная времени звена, характеризующая инерционность звена, с; k – коэффициент усиления звена.

В операторной форме:

(Τs + 1) y = kx.

Передаточная функция апериодического звена:

.

Модель для исследования динамических свойств звена состоит из следующих блоков: Step, TransferFcn, Scope. Блок TransferFcn находится в разделе Continious. Полученная модель показана на Рис.11.6.

Рис.11.6. Модель апериодического звена (k = 1, T = 1)

Параметры звена TransferFcn: Numerator – числитель и Denominator – знаменатель передаточной функции могут быть представлены в виде полиномов a₀sⁿ + a₁s^n-1 +…+ a_n-1s⁰ и b₀s^m + a₁s^m-1 +…+ a_m-1s⁰ соответственно. В общем случае с помощью этого звена можно задать любую передаточную функцию, представленную в виде отношения полиномов, причем n £ m, где n – порядок полинома в числителе, m – порядок полинома в знаменателе. У апериодического звена в числителе находится один параметр – коэффициент усиления k, поэтому в окне Numerator для апериодического звена вводим [k]. Знаменатель апериодического звена Ts +1, то есть полином вида a₀s¹ + +a₁s⁰, где a₀ = T, а₁ = 1. Поэтому в окне Denominator для апериодического звена вводим [T 1] (через пробел).

Переходные и частотные характеристики апериодического звена приведены на Рис.11.7.

Рис.11.7. Переходные и частотные характеристики апериодического звена.

Колебательное звено

Колебательным называют звено, у которого при ступенчатом изменении входной величины выходная величина стремится к новому установившемуся значению, совершая при этом колебания.

Уравнение колебательного звена в операторной форме записи:

,

где T₁ и T₂ – постоянные времени колебательного звена; k – коэффициент усиления колебательного звена.

Передаточная функция колебательного звена:

Постоянные времени колебательного звена T₁ и T₂ связаны зависимостью

x = Т₂ / 2Т₁.

Коэффициент x называют коэффициентом колебательности, он характеризует колебательность переходного процесса колебательного звена. Если x< 1, то переходный процесс звена – колебательный, и чем x меньше единицы, тем колебательнее процесс. Если x³ 1, то получаем апериодическое звено второго порядка.

Модель для исследования динамических свойств звена состоит из следующих блоков: Step, TransferFcn, Scope. Полученная модель показана на Рис.11.8.

Рис.11.8. Модель колебательного звена.

Для колебательного звена в окне Denominator вводим [1 1 1] (через пробел), поскольку в знаменателе колебательного звена находится полином вида
a₀s² + a₁s¹ + a₂s⁰, где a₀ = T₁², а₁ = T₁, a₂ = 1.

Переходные и частотные характеристики колебательного звена представлены на Рис.11.9.

Рис.11.9. Переходные и частотные характеристики колебательного звена.

Интегрирующее звено

Интегрирующим называют звено, в котором выходная величина пропорциональна интегралу во времени от входной величины.

Уравнение интегрирующего звена:

sy = kx,

где k – коэффициент усиления интегрирующего звена.

В интегральной форме:

При ступенчатом входном сигнале выходная величина линейно зависит от времени:

у = kxt = Kt,

где K = kx - постоянная величина; t - время.

В интегрирующем звене скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине.

Уравнение звена в операторной форме:

Передаточная функция интегрирующего звена:

.

Модель для исследования динамических свойств звена состоит из следующих блоков: Step, Gain, Integrator, Scope. Блок Integrator находится в разделе Continious.В связи с тем, что передаточная функция интегрирующего звена в пакете Simulink всегда 1/s, то для того, чтобы задать коэффициент усиления интегрирующего звена, используется последовательное соединение усилительного (Gain) и интегрирующего звеньев (Integrator).

Полученная модель показана на Рис.11.10.

Рис.11.10. Модельинтегрирующего звена.

Для изменения коэффициента усиления интегрирующего звена необходимо изменять коэффициент передачи последовательно соединенного с ним усилительного звена (Gain). Параметры интегрирующего звена (Integrator) изменять не рекомендуется.

Переходные и частотные характеристики интегрирующего звена представлены на Рис.11.11.

Рис.11.11.Переходные и частотные характеристики интегрирующего звена.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называют звено, в котором выходная величина пропорциональна производной по времени от входной величины. В дифференцирующем звене выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины.

Уравнение идеального дифференцирующего звена в операторной форме записи:

у = ksx.

При подаче на вход звена ступенчатого сигнала на выходе получается мгновенный выходной импульс, теоретически имеющий бесконечно большую амплитуду, соответствующую бесконечно большой скорости входного сигнала в момент подачи.

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена:

.

Модельдляисследованиядинамическихсвойствзвенасостоитизследующихблоков: Step, Gain, Switchedderivativeforlinearization (изразделаLinearizationбиблиотекиSimulinkExtras), Scope.Здесь используется звено Switchedderivativeforlinearization, а не звено Derivative из раздела Continuous, поскольку последнее не оказывает нужного влияния на частотные характеристики системы.

В связи с тем, что передаточная функция дифференцирующего звена в пакете Simulink всегда s, то для того чтобы задать коэффициент усиления интегрирующего звена, используется последовательное соединение усилительного (Gain) и дифференцирующего звеньев (Switchedderivativeforlinearization). Полученная модель показана на Рис.11.12.

Рис.11.12. Модельдифференцирующего звена.

Для изменения коэффициента усиления дифференцирующего звена необходимо изменять коэффициент передачи соединенного с ним усилительного звена (Gain). В параметрах блока Switchedderivativeforlinearization устанавливаем: Switchvalue = 1 и Derivativeconstant = 107 (чем больше последнее значение, тем точнее звено, но дольше время моделирования).Переходные и частотные характеристики интегрирующего звена представлены на Рис.11.13.

Рис.11.13. Переходные и частотные характеристики дифференцирующего звена (k=1)