Определения и обозначения, используемые в работе. Определение 1.1.1.Непустое множество с определенной на ней бинарной алгебраической операцией называется группой

Определение 1.1.1.Непустое множество с определенной на ней бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) ассоциативность операции на ;

2) ;

3) .

Определение 1.1.2.

1)Порядком конечной группы называется число его элементов и обозначается .

2) совокупность всех простых делителей порядка группы , то есть .

Определение 1.1.3.Непустое подмножество группы называется подгруппой группы и обозначается , если является группой относительно той же операции, что и группа .

Определение 1.1.4.Пусть – группа, . Индексом подгруппы в группе называется число смежных классов в разложении группы по подгруппе и обозначается .

Определение 1.1.5.Подгруппа группы называется нормальной подгруппой и обозначается , если выполняется такое равенство , .

Определение 1.1.6. Подгруппа группы называется нормальной, если , .

Определение 1.1.7. Нормальная подгруппа группы называется минимальной нормальной подгруппой, если и справедливо: если , то или и обозначается . Другими словами, не существует такой нормальной подгруппы группы , чтобы .

Определение 1.1.8. Пусть группа, . Подгруппой порожденной множеством , называется пересечение всех подгрупп группы , содержащих множество , и обозначается , то есть где

Определение 1.1.9. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой группы и обозначается , если и справедливо: если , то или .

Другими словами, , если и не существует такой подгруппы группы , что .

Определение 1.1.10. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех максимальных подгрупп группы , если они существуют, и сама группа в противном случае и обозначается , то есть где или .

Определение 1.1.11. Пусть группа, . Элемент называется необразующим (непорождающим) элементом группы , если из всегда следует, что .

Определение 1.1.12. 1) Элемент группы называется центральным элементом группы , если он перестановочен с каждым элементом группы , то есть .

2) Центром группы называется множество всех центральных элементом группы и обозначается , то есть .

Определение 1.1.13. Пусть – группы. Множество относительно покоординатного умножения элементов является группой, которая называется внешним прямым произведением групп и .

Определение 1.1.14. Группа удовлетворяющая трём условиям:

1)

2)

3)

называется внутренним прямым произведением подгрупп и , и обозначается

Определение 1.1.15. Пусть – группа.

1) Нормализатором подмножества в группе называется множество всех элементов группы , перестановочных с в целом и обозначается , то есть

2) Централизатором подмножества в группе называется множество всех элементов группы , перестановочных с поэлементно и обозначается , то есть

Определение 1.1.16. Группа называется примарной, если её порядок равен степени некоторого простого числа.

Определение 1.1.17. Пусть Группа называется -группой, если , где

Определение 1.1.18. 1) Пусть где Подгруппа группы называется силовской -подгруппой группы ( -силовской, силовой), если и обозначается .

2) - множество всех силовских -подгрупп группы .

Определение 1.1.19. 1) Конечная последовательность подгрупп группы вида (1) называется рядом группы .

2) Конечная последовательность подгрупп группы вида (2) называется цепью группы , соединяющей с , или - цепью.

3) Число называется длиной ряда (1) или цепи (2). Подгруппы называются членами ряда (1) или цепи (2).

Определение 1.1.20. 1) Ряд (цепь) группы называется нормальным рядом (цепью), если .

2) Ряд (цепь) группы называется субнормальным рядом (цепью), если .

3) Факторгруппы нормального (субнормального) ряда называются нормальными (субнормальными) факторами группы .

Определение 1.1.21. 1) Нормальный ряд группы без повторений членов называется главным рядом группы , если он не допускает дальнейшего уплотнения нормальными подгруппами, т.е. .

2) Субнормальный ряд группы без повторений членов называется композиционным рядом группы , если он не допускает дальнейшего уплотнения субнормальными подгруппами, т.е. .

3) Фактор главного (композиционного ряда) называется главным (композиционным) фактором.

Определение 1.1.22. Конечная группа называется разрешимой, если обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.

Определение 1.1.23. Конечная группа называется разрешимой, если обладает главным рядом с абелевыми факторами.

Определение 1.1.24. Конечная группа называется разрешимой, если обладает композиционным рядом с факторами простого порядка.

Определение 1.1.25. 1) Группа называется разрешимой, если для некоторого , то есть если ряд коммутантов группы обрывается на единичной подгруппе.

2) — множество всех разрешимых групп.

Используемые результаты

Теорема 1.2.1 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы делит порядок группы, то есть – конечная группа, , то .

Следствие 1.2.1. Пусть - конечная группа и .

Теорема 1.2.2 (Теорема о мощности произведения подгрупп). Пусть – конечная группа, Тогда .

Теорема 1.2.3 (Свойства нормальных подгрупп).

Пусть – группа, тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если , , то и , то есть пересечение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа и произведение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа;

2) Если , , то , то есть пересечение нормальной подгруппы с произвольной нормальна в произвольной;

3) Если , и , то , то есть нормальная подгруппа является нормальной в любой подгруппе ее содержащей.

Теорема 1.2.4 (О факторгруппе). Пусть – группа, . Совокупность (читается по ) всех смежных классов группы по подгруппе является мультипликативной группой относительно умножения, заданного по правилу: выполняется (1), которая называется факторгруппой группы по подгруппе .

Замечание 1.2.1. .

Теорема 1.2.5. Пусть – группа, . Тогда .

Теорема 1.2.6 (О строении подгруппы Фраттини). Подгруппа Фраттини группы состоит из всех необразующих элементов группы .

Замечание 1.2.2. Если , то .

Теорема 1.2.7 (О соответствии). Пусть – группа, – совокупность всех подгрупп группы , содержащих , - совокупность всех подгрупп группы . Тогда между множествами и существует взаимно-однозначное соответствие (биекция), причём .

Теорема 1.2.8 (О соответствии). Пусть . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Теорема 1.2.9. Пусть внутреннее прямое произведение.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Подгруппы и группы перестановочны поэлементно, то есть

2) Каждый элемент допускает единственное представление в виде

, где

Теорема 1.2.10 (Ремака). Если группа содержит нормальные подгруппы и , то группа изоморфна подпрямому произведению групп

Лемма 1.2.1. Пусть – группа. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2)

Теорема 1.2.11 (Силова). 1. Пусть – группа, Тогда в существуют силовские р-подгруппы.

2. Тогда всякая р-подгруппа группы содержится в некоторой силовской р-подгруппе группы

3. Любые 2 силовские p-подгруппы группы сопряжены в

4. Число силовских р-подгрупп группы сравнимо с единицей по модулю и делит

Лемма 1.2.2 (Свойства примарных групп). Пусть – примарная группа.

1. Центр неединичной примарной группы отличен от 1, т.е. если то

2. Если то , то есть каждая собственная подгруппа примарной группы собственно содержится в своем нормализаторе.

3. Если , то и – простое число, то есть все максимальные подгруппы примарной группы нормальны в и имеют простые индексы.

4. Если , то .

5. Если , – простое число и

Теорема 1.2.12. Пусть Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2)

3)

Лемма 1.2.3. Пусть Если – абелева группа и , такая что .

Лемма 1.2.4 (Фраттини). Пусть

Лемма 1.2.5. Пусть и

Лемма 1.2.6. Пусть Тогда .

Лемма 1.2.7. Пусть – группа, . Тогда .