Вычитаниеи деление комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел – этооперация, обратная сложению: длялюбых комплексных чиселZ1и Z2 существует, и притом только одно,число Z, такое, что:
Z+ Z2=Z1
Если к обеим частям равенстваприбавить (–Z2) противоположное числу Z2:
Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда
Z = Z1<sub/>– Z2
Число Z=Z1+Z2 называют разностью чиселZ1и Z2.
Деление вводится как операция,обратная умножению:
Z×Z2=Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
Z=/>
Из этого уравнения видно, что Z2/>0
Геометрическое изображениеразности комплексных чисел
Рисунок 4
Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствуетразность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль/> разности двух комплексныхчиселZ2 и Z1 по определению модуля есть длинавектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как суммувекторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двухкомплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которыесоответствуют этим числам.
Это важное геометрическоеистолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехомиспользовать простые геометрические факты.
Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i.Найти разность Z2 – Z1и частное />
Z2– Z1<sub/>= (3 + 4·i) – (4+ 5·i) = –1 – i
/>=/>=/>
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯФОРМА
КОМПЛЕКСНОГОЧИСЛА
Рисунок 5
Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называетсяалгебраической формойкомплексногочисла. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записикомплексных чисел.
Рассмотрим тригонометрическуюформу записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·iвыражаются через его модуль />= rи аргумент j следующим образом:
A=r·cosj; B= r·sinj.
Число Z можно записать так:
Z= r·cosj+i·/>·sinj = r·(cosj +i·sinj)
Z = r·(cosj +i·sinj) (2)
Эта запись называется тригонометрическойформой комплексного числа.
r =/>– модуль комплексного числа.
Число j называют аргументом комплексного числа.
Аргументом комплексного числа Z/>0 называется величина угла междуположительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считаетсяположительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной,если производится по часовой стрелке.
Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случаечисло задается только своим модулем.
Как уже говорилось выше />= r =/>, равенство (2)можно записать в виде
A+B·i=/>·cosj+i·/>·sinj, откуда приравнивая действительные имнимые части, получим:
cosj =/>, sinj =/> (3)
Если sinj поделить на cosj получим:
tgj=/> (4)
Эту формулу удобней использовать длянахождения аргумента j,чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4),являются аргументами числа A+B·i. Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, вкакой четверти расположена точка A+B·i.
СВОЙСТВАМОДУЛЯ И АРГУМЕНТА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
С помощью тригонометрической формыудобно находить произведение и частное комплексных чисел.
Пусть Z1= r1·(cosj1<sub/>+i·sinj1),Z2<sub/>= r2·(cosj2<sub/>+i·sinj2).Тогда:
Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=
=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)].
Таким образом, произведениекомплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить поформуле:
Z1Z2=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)](5)
Из формулы (5) следует, чтоприумножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Если Z1=Z2 то получим:
Z2=[r·(cosj+i·sinj)]2=r2·(cos2j+i·sin2j)
Z3=Z2·Z=r2·(cos2j+i·sin2j)·r·(cosj+i·sinj)=
=r3·(cos3j+i·sin3j)
Вообще для любого комплексного числа Z=r·( cosj+i·sinj)/>и любого натурального числа n справедлива формула:
Zn<sup/>=[ r·(cosj+i·sinj)]n= rn·(cosnj+i·sinnj),(6)
которую называют формулой Муавра.
Частное двух комплексных чисел,записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
/>/>/>[ cos(j1– j2) + i·sin(j1– j2)].(7)
/>= />=cos(–j2) + i·sin(–j2)
Используя формулу 5
/>(cosj1 +i·sinj1)×(cos(–j2) + i·sin(–j2)) =
cos(j1– j2) + i·sin(j1– j2).
Пример 3:
Z3 = –8
Число –8запишем в тригонометрической форме
8 = 8·(cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r3×(cos3j+ i×sin3j) = 8·(cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Тогда 3j =p + 2pk, kÎZ
j=/>,kÎZ
r3 = 8
r = 2
Следовательно:
Z = 2·( cos(/>) + i·sin(/>)), kÎZ
k = 0,1,2...
k = 0
Z1 = 2·( cos/> +i·sin/>) = 2·(/>i) = 1+/>×i
k = 1
Z2 = 2·( cos(/> + />) + i·sin(/> + />)) = 2·( cosp + i·sinp) = –2
k = 2
Z3 = 2·( cos(/> + />) + i·sin(/> + />)) = 2·( cos/> + i·sin/>) = 1–/>×i
Ответ: Z13 = />;Z2 = –2
Пример 4:
Z4 = 1
Число 1запишем в тригонометрической форме
1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r4×(cos4j+ i×sin4j) =cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ
4j = 2pk, kÎZ
j= />,kÎZ
r4= 1
r = 1
Z = cos />+ i×sin/>
k = 0,1,2,3...
k = 0
Z1 = cos0+ i×sin0= 1 + 0 = 1
k = 1
Z2 = cos />+ i×sin/> = 0 +i = i
k = 2
Z3 = cosp + i·sinp = –1+ 0 = –1
k = 3
Z4 = cos />+ i×sin/>
Ответ: Z13 = />1
Z24 = /> i