Комплексные числа, действия над ними
Алгебраическое уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел. Этот факт подводит нас к необходимости расширения понятия числа.
Определение 1. Комплексными числами называются числа вида , где
,
являются действительными числами, а
- условный символ. При этом введены операции сложения и умножения по следующим правилам.
Пусть заданы 2 комплексных числа и
, тогда их сумма и произведения определяются формулами:
,
. (1)
Обратите внимание, что определение не только вводит новый объект – множество комплексных чисел вида
. Также введены операции над этими числами – сложение и умножение. По определению, они выполняются по формулам (1). Как запомнить формулы (1) и в чем смыл символа «
»? По сути, мы обычным образом раскрываем скобки при проведении арифметических операций и при этом квадрат условного символа
заменяем числом
.
Для числа число
называется действительной частью, а число
- мнимой частью этого комплексного числа. При этом используются обозначения
,
. Два комплексных числа называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком. В общем виде парой сопряженных комплексных чисел являются числа
и
.
Числа и
равны тогда о только тогда, когда совпадают их действительные и мнимые части, т.е. выполнены равенства:
. Если мнимая часть комплексного числа равна 0, то это число принадлежит множеств действительных чисел
Иными словами, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел, что можно записать в виде
.
Про комплексные числа нельзя сказать, что одно из них больше или меньше другого. В этом смысле их нельзя сравнивать. Можно лишь ответить на вопрос, равны или не равны два таких числа.
Комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда равны 0 его действительная и мнимая части. Справедливо равенство и таким свойством обладает лишь число 0.
Комплексное число равно 1 тогда и только тогда, когда его действительная часть равна 1, а мнимая часть равна 0. Справедливо равенство и таким свойством обладает лишь число 1.
В определении даются формулы для сложения и умножения комплексных чисел. Это автоматически порождает ряд дополнительных операций над комплексными числами. Под вычитанием понимается действие, обратное сложению. Поэтому для чисел и
справедлива формула
. Умножение комплексного числа
на действительное число
является частным случаем перемножения комплексных чисел, поэтому справедлива формула
. Под делением понимается действие, обратное умножению. Заметим, что для чисел
и
справедливо соотношение
. После раскрытия скобок получим формулу
.
Пример 1. Даны комплексные числа ,
. Вычислите:
а) , б)
, в)
, г)
, д)
, е)
ж)
.
Решение. В первых 5 пунктах действуем по определению:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ; д)
.
Переходим к последним двум пунктам. Еще раз ответим на вопрос, как поделить 2 комплексных числа? При вычислении в п.. е) можно рассмотреть уравнение
или
. Раскрывая скобки, приравнивая действительные и мнимые части, мы получим однозначно разрешимую систему для определения неизвестных
и
. Тем самым частное будет найдено.
На самом деле, есть более простой способ деления комплексных чисел. Заметим, что если комплексное число умножить на сопряженное, то получится действительное число, т.е. . Отсюда
. Также
.