Глава 1. Предварительные сведения. Министерство образования и науки РФ

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего образования

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г.ПЕТРОВСКОГО»

(БГУ)

Естественно-научный институт

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Реферат

«Примарные и бипримарные группы»

Выполнил:

магистрант 1 курса 2 группы

направления 01.04.01 «Математика»

Клопов Н.В

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Сорокина М.М.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. 3

Глава 1. Предварительные сведения. 5

1.1. Определения и обозначения, используемые в работе. 5

1.2. Используемые результаты.. 8

Глава 2. Примарные и бипримарные группы.. 10

2.1. Примарные группы и их простейшие свойства. 10

2.2. Теоремы Силова. 12

2.3. Свойства силовских подгрупп. 15

2.4. Бипримарные группы.. 16

Заключение. 18

Список литературы.. 19

Введение

Теория групп ‒ раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом.

Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом.

У теории групп имеется три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, ‒ это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком. Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века стала полная классификация конечных групп ‒ результат совместных усилий многих математиков, занимающий более 10 тысяч печатных страниц, основная часть которых опубликована с 1960 по 1980 годы.

В теории групп большую роль играют примарные группы и примарные подгруппы групп. Центральные результаты о таких группах получил норвежский математик Людвиг Силов в 1872 году.

Теоремы Силова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы гарантируют существование подгрупп такого порядка.

Реферат имеет следующую структуру. В первой главе приводятся некоторые предварительные сведения, используемые в работе. Основное содержание данного реферата представлено во второй главе. В ней исследованы свойства примарных и бипримарных групп и рассмотрены силовские -подгруппы с изучением основных теорем Силова.

Глава 1. Предварительные сведения

В реферате рассматриваются только конечные группы.