Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.

Пример.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru .

Решение.

В матричной форме исходная система запишется как Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru , где Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru обратная матрица может быть найдена как Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru , где Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru - алгебраические дополнения элементов Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru .

В нашем случае
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Тогда
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Выполним проверку полученного решения Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Следовательно, решение найдено верно. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru или в другой записи Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru .

27. Группы. Свойства групп. Критерий подгруппы

Алгебра G = Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru с бинарной операцией Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru называется группой, если:

1) бинарная операция Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru ассоциативна;

2) во множестве Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru существует элемент Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru нейтральный относительно операции Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru ;

3) для любого элемента Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru в множестве Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru существует элемент Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru симметричный относительно операции Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru .

Существуют различные классификации групп. Наиболее распространёнными являются следующие.

1. В зависимости от того, является ли основное множество Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru конечным или бесконечным, выделяют соответственно конечные и бесконечные группы.

2. В зависимости от того, обладает ли бинарная операция Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru свойством коммутативности или нет, выделяют соответственно коммутативные (абелевы) и некоммутативные (неабелевы) группы.

3. По виду бинарной операции Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru выделяют аддитивные (операция сложения) и мультипликативные (операция умножения) группы.

Примеры.

1. Алгебра Z = Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru является аддитивной абелевой группой. Действительно, операция сложения целых чисел ассоциативна; нейтральным относительно сложения целых чисел является целое число ноль; для каждого целого числа существует ему симметричное относительно сложения – противоположное по знаку целое число; кроме того, сложение целых чисел коммутативно.

. Пусть a — элемент группы G. Для произвольного целого числа n положим a n =    1, если n = 0, a . . . a, если n > 0 (n множителей), (a −n ) −1 , если n < 0. Предложение 2.1. Пусть a — элемент некоторой группы и n, m ∈ Z. Тогда a n+m = a na m и (a n ) m = a nm. Определение 2.3. Непустое подмножество H группы G называется подгруппой группы G (пишут H ≤ G), если H является 9 группой относительно той же операции, которая определена на G.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

28. Поле. Поле комплексных чисел. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Полем называется непустое множество, для элементов которого определено два действия, называемых сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (коммутативность сложения);

2. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (ассоциативность сложения);

3. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (существование нуля);

4. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (существование противоположного элемента);

5. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (коммутативность умножения);

6. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (ассоциативность умножения);

7. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (существование единицы);

8. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (существование обратного элемента);

9. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (дистрибутивность);

10. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (в поле должно существовать хотя бы два элемента).

Пример. Поля: Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru – поле вещественных чисел, Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru – поле рациональных чисел,

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Полем комплексных чисел называется множество Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru , обладающее следующими свойствами:

1. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru — поле;

2. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru ( Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru содержит Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru ). При этом предполагается, что действия в Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru в применении к элементам из Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru приводят к тем же результатам, что и действия в Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru .

3. Любое квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет в поле Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru корень.

4. Каждый элемент поля Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru является корнем какого-либо квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Оно не имеет вещественных корней, но, по аксиоме 3, имеет корень в поле Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Один из корней этого уравнения зафиксируем и обозначим Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru (image) — мнимая единица.

Пусть Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Теорема. Любой элемент поля Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru можно единственным образом представить в виде Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru , где Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru .

Доказательство.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru
Пусть Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru — произвольный элемент Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . По аксиоме 4, Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru — корень квадратного уравнения с коэффициентами из Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru
Если Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru — вещественное число, то его можно представить в виде Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Пусть Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru не является вещественным числом. Тогда квадратное уравнение Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru не имеет вещественных корней и имеет отрицательный дискриминант.
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru
В любом случае Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru имеет требуемый вид.

Докажем единственность.

Предположим, что Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Тогда

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Пусть Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Тогда

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Получаем, что Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Это невозможно, значит, Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru . Тогда Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом - student2.ru

Наши рекомендации