Решение систем линейных уравнений

Действия с векторами.

Работать с векторами в пакете MathCAD нужно с помощью панели инструментов Matrix (кнопка Решение систем линейных уравнений - student2.ru ). Появится окно, изображенное на рис. 3.1.

Решение систем линейных уравнений - student2.ru
Рисунок 3.1

При вводе опции ORIGIN:=1 нумерация строк начинается с единицы. По умолчанию нумерация начинается с нуля. Линейная комбинация векторов осуществляется обычным способом алгебраических преобразований. Вычисление модуля вектора, скалярного и векторного произведения векторов осуществляется с помощью соответствующих кнопок панели Matrix (рис. 3.1). На этой панели Решение систем линейных уравнений - student2.ru - вычисление модуля, Решение систем линейных уравнений - student2.ru - скалярное произведение, Решение систем линейных уравнений - student2.ru - векторное произведение.

Решение уравнений.

Пример 1. Найти корни полинома Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

Решим это уравнение с помощью функции polyroots (рис. 3.2). Массив коэффициентов, используемый в этой функции, определим как вектор-столбец из пяти элементов. Обратите внимание, что в уравнении отсутствует переменная х в первой степени. Это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю.

Решение систем линейных уравнений - student2.ru
Рисунок 3.2

Как видно из проверки, при подстановке в данное уравнение первого вычисленного корня (х1) получается верное равенство, при подстановке других корней верное равенство получается лишь приблизительно, так как корни этого уравнения - числа иррациональные.

Пример 2. Найти корни уравнения Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

Уравнение произвольного вида решается с помощью функции root.

Решение.

1. Перенесем выражение, стоящее в правой части в левую, получим Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

2. Введем функцию Решение систем линейных уравнений - student2.ru . Корни данного уравнения - точки пересечения функции y(х) с осью абсцисс.

3. Построим график функции на таком интервале переменной х , чтобы четко наблюдались корни уравнения (рис. 3.3). Так как функция y(х) четная, то достаточно строить графики только при положительных значениях переменной х. Из рисунка видно, на втором графике корни уравнения более различимы.

Решение систем линейных уравнений - student2.ru
Рисунок 3.3

4. Определим интервалы изоляции корней по второму графику (рис. 3.3). Первый корень лежит на интервале (0; 1), второй - на участке (1; 2), третий - (2; 3). Уточним корни уравнения с помощью функции root (рис. 3.4).

Решение систем линейных уравнений - student2.ru
Рисунок 3.4

Ответ: х = -2.19, -1.808, -0.506, 0.506, 1.808, 2.19.

Прим е р 3. Найти значение абсциссы и ординаты экстремумов функции Решение систем линейных уравнений - student2.ru .

Решение. Перед нахождением экстремумов нужно определить промежуток оси абсцисс, где они находятся. Для этого строим график данной функции на произвольном отрезке (рис. 3.5). Если на построенном промежутке экстремумов нет, его нужно поменять. Строим график функции Решение систем линейных уравнений - student2.ru на участке [-5; 5].

Решение систем линейных уравнений - student2.ru
Рисунок 3.5

Как видно из рис. 3.5, минимум функции находится вблизи точки х = 2, а максимум - вблизи точки х = -3. Точки экстремума вычисляются с помощью функций Minimize (минимум) или Maximize (максимум), но перед ними необходимо написать слово Given (рис. 3.6).

Решение систем линейных уравнений - student2.ru
Рисунок 3.6

Ответ: минимум (1,361; -20,745); максимум (-2,694; 12,597).

Решение систем линейных уравнений.

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение систем линейных уравнений - student2.ru

Данную систему можно рассматривать как одно матричное уравнение Решение систем линейных уравнений - student2.ru , где Решение систем линейных уравнений - student2.ru , Решение систем линейных уравнений - student2.ru . Поэтому уравнение можно решить традиционным матричным способом (рис. 3.7).

Решение систем линейных уравнений - student2.ru
Рисунок 3.7

Ответ: х1=1, х2=2, х3=-7, х4=1.

Наши рекомендации