Решение систем линейных уравнений
ВЕКТОРЫ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| Вектор задан координатами А (2;-3;0) В (-1;4;7) Найти координаты вектора и его модуль | А (x1;у1;z1) В (x2;у2;z2) Координаты вектора определяем по следующей формуле: Модуль вектора определяем по формуле: | - координаты вектора - модуль вектора | |
| Найти скалярное и векторное произведения векторов | Пусть ; Скалярное произведение определяется по формуле: - сумма парных произведений одноименных координат. В результате получается число. Векторное произведение векторов вычисляется по следующей формуле: В результате получается вектор. Замечания: нельзя менять строки в определителе. | - скалярное произведение векторов - векторное произведение векторов |
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Найти угловой коэффициент прямой 3х-4y+7=0 | Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой у=кх+в – уравнение прямой с угловым коэффициентом к, в-отрезок, который прямая отсекает по оси оу. к=tg α; где α – угол, который прямая составляет с положительным направлением оси ох Если к>0, то угол –острый, если к<0, то угол – тупой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с угловым коэффициентом: у-у1=к (х-х1) , где точка А(х1; у1), через которую проходит прямая. Для определения углового коэффициента прямой, если она задана общим уравнением необходимо выразить у, а коэффициент при хи будет угловым коэффициентом прямой ; Угол между прямыми: Условие параллельности прямых: к1=к2 Условие перпендикулярности прямых: | 3х-4у+7=0 -4у=-3х-7 или 4у=3х+7 угол - острый |
| 2. | Найти угол между прямыми 2х-у+1=0 l1 3х+у-2=0 l2 | l1: 2х-у+1=0 у=2х+1 к1=2 l2: 3х+у-2=0 у=-3х+2 к2=-3 | |
| 3. | Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;3) перпендикулярно прямой х-4у+5=0 l1 | l2; у-у1= к2(х-х1) (1) А(-1;3) - точка, через которую проходит искомая прямая т.к l2┴ l1, то Найдем угловой коэффициент данной прямой: х-4у+5=0 4у=х+5 Найдем угловой коэффициент прямой l2: Подставим в уравнение (1) координаты точки А(-1;3) и к2= -4 у-3= -4(х+1) у-3= -4х-4 4х+у+1=0 Общее уравнение искомой прямой |
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Решить систему линейных уравнений тремя методами 1.По правилу Крамера (с помощью определителя) 2.Методом Гаусса (метод исключения неизвестных) 3. Матричным методом | Правило Крамера Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти главный определитель системы: и вспомогательные тогда : Матричный метод: матричное уравнение. Умножим слева обе части матричного уравнения на А-1, т.е. ; ; матричное решение. Главный определитель , значит, система имеет единственное решение, а матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, имеет обратную Такая матрица определяется по формуле: -минор; - алгебраическое дополнение, минор со знаком. - формула, связывающая алгебраическое дополнение с минором. | Найдем главный и вспомогательный определитель 10(24-35)+3(-66+77) +5(55-44)=11(-10+3+5)= -22 - 66+77-10(12+21)+5(22+33)=11-330+275= - 44 Метод Гаусса: -2х+6у-10z=-20 -3x+9y-15z=-30 -40y+68z=124 2x+4y-7z=-11 3x-5y+6z=11 40y-90z=-190 10y-17z=-31 4y-9z= -19 -22z=-66 z=3 (1;2;3) - решение системы линейных уравнений Матричный метод: Вычисляем алгебраические дополнения: А11= -11 А21= -7 А31= 1 А12= -33 А22= -9 А32= 17 А13= -22 А23= -4 А33= 10 |
МАТРИЦЫ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Даны матрицы Найти: 1. А+В 2. 2А-3В 3. А х В | Матрицы - квадратные матрицы. Существует прямоугольная матрица матрица-строка, матрица-столбец. Умножение матрицы не число: - все элементы матрицы умножаются на число к. все соответствующие элементы складываются (аналогично вычитаются) - строка умножается на столбец, т.е. соответствующие элементы перемножаются и суммируются это произведение | 1. (соответствующие элементы складываются). 2. - сложили соответственно элементы. - элементы умножаются на 2. - все элементы умножаются на (-3) 3. |
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Вычислить определители: а) б) в) | Определителем второго порядка называется число, получаемое следующем образом: (произведение элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали). Определителем третьего порядка называется число, получаемое следующем образом: - разложение по элементам первой строки. Знаки определяются следующем образом: если сумма индексов, например, 1+1=2 (чётно) –знак не меняется, 1+2=3 (нечётно) – меняем знак элемента на противоположный. Можно раскладывать по элементам любой строки или любого столбца. Не забываем определять знак элемента! Можно вычислить определитель по «правилу треугольника» | а) б) в) Или по «правилу треугольника»: |
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| Вычислить интеграл по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, затем оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам. | Для приближенного вычисления определенных интегралов имеются несколько способов. Если функция f(х) задана формулой или таблицей, то приближенное значение определенного интеграла можно найти следующим путем: 1)разделить интервал интегрирования точками х1,х2 ,х3,……хn-1 y на n равных частей ; 2) вычислить значения подынтегральной функции в точках деления , , 3) воспользоваться одной из приближенных формул. Наиболее употребительны следующие приближенные формулы, основанные на геометрическом представлении определенного интеграла в виде площади криволинейной трапеции. I. Формула прямоугольников или Геометрический чертеж №1 по этой формуле площадь криволинейной трапеции аАBb, которая соответствует интегралу заменяется суммой площадей заштрихованных прямоугольников. Черт. №1 II. Формула трапеций Геометрически (черт.№2) по этой формуле площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей заштрихованных трапеций. III. Формула параболических трапеций (СИМПСОНА); n – число четное. Геометрически (черт.№3) по этой формуле площадь каждой пары вертикальных полосок заменяется площадью одноименной параболической трапеции, проходящей через три точки кривой с абсциссами хi, xi+1=xi+h и xi+2=xi+2h Черт. №2 Черт №3 Все указанные приближенные формулы будут тем точнее, чем больше взято n посредством каждой из этих формул можно вычислить приближенное значение определенного интеграла с любой желаемой точностью. | По формуле Ньютона-Лейбница Далее делим интеграл интегрирования на 8 равных частей. Находим длину одной части h=1, точки деления хi, значения уi подынтегральной функции в этих точках: и вычисляем интеграл по приближенным формулам. По формуле прямоугольников Абсолютная ошибка этого приближенного значения (по недостатку) равна 38-34,8183=3,1817, а относительная (процентная) ошибка равна . По формуле прямоугольников . Здесь абсолютная ошибка (по избытку) равна 2,8183, а относительная По формуле трапеций Абсолютная ошибка этого результата составляет 0,1817, а относительная . По формуле Симпсона Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная |