Основные теоремы о пределах

Обозначим условие предельного перехода в виде Основные теоремы о пределах - student2.ru . Здесь под обозначением Основные теоремы о пределах - student2.ru будем понимать x0 или Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Пусть f(x) и g(x) — функции, для которых существуют пределы при Основные теоремы о пределах - student2.ru , т. е.

Основные теоремы о пределах - student2.ru , Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Кроме того, пусть c — постоянная величина.

Сформулируем основные теоремы о пределах функций.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Основные теоремы о пределах - student2.ru .

2. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

Основные теоремы о пределах - student2.ru .

3. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций

Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Теоремы по п.п. 2-3 можно распространить на любое конечное число функций.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю

Основные теоремы о пределах - student2.ru , где Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Основные теоремы о пределах - student2.ru 5. Если Основные теоремы о пределах - student2.ru , Основные теоремы о пределах - student2.ru , то предел сложной функции равен

Основные теоремы о пределах - student2.ru .

6. Если в некоторой окрестности точки x0 или при достаточно больших x выполняется условие Основные теоремы о пределах - student2.ru , то

Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Замечательные пределы.Два часто используемых при решении задач предела называют замечательными пределами:

1. Основные теоремы о пределах - student2.ru . Если аргумент x является функцией f(x), то Основные теоремы о пределах - student2.ru .

2. Основные теоремы о пределах - student2.ru . Аналогично Основные теоремы о пределах - student2.ru .

В первом замечательном пределе, как и везде в курсе высшей математики, аргумент синуса берется в радианах. Второй замечательный предел равен иррациональному числу е, являющемуся основанием натуральных логарифмов и приближенно равному 2,72.

Второй замечательный предел иногда записывают в следующей форме:

Основные теоремы о пределах - student2.ru или Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние до которой от точки графика стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают 3 вида асимптот:

а) вертикальная асимптота. Ее уравнение x = a. График функции y = f(x), имеющий вертикальную асимптоту, может иметь вид, показанный на рис. 5.5.

Основные теоремы о пределах - student2.ru Для нахождения вертикальной асимптоты графика функции y = f(x) достаточно найти точку a такую, что в этой точке хотя бы один односторонний предел бесконечен, т. е.

Основные теоремы о пределах - student2.ru или/и Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Тогда прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

б) горизонтальная асимптота. Ее уравнение y = b. График функции y = f(x)изображен на рис. 5.6.

 
  Основные теоремы о пределах - student2.ru

Рис. 5.6.Горизонтальная асимптота

Если

Основные теоремы о пределах - student2.ru или/и Основные теоремы о пределах - student2.ru ,

то прямая y = b является горизонтальной асимптотой (справа на Основные теоремы о пределах - student2.ru ; слева на Основные теоремы о пределах - student2.ru ) графика функции y = f(x). Если оба эти предела бесконечны или не существуют, то график функции y = f(x) горизонтальных асимптот не имеет. Если горизонтальных асимптот нет, то отыскивают наклонную асимптоту.

в) наклонная асимптота. Ее уравнение y = kx + b. График функции, имеющий наклонную асимптоту, изображен на рис. 5.7.

 
  Основные теоремы о пределах - student2.ru

Рис. 5.7.Наклонная асимптота

Если существуют конечные пределы

Основные теоремы о пределах - student2.ru и Основные теоремы о пределах - student2.ru ,

то прямая y = k1x + b1 является наклонной асимптотой справа графика функции y = f(x).

Если существуют и конечные пределы

Основные теоремы о пределах - student2.ru , Основные теоремы о пределах - student2.ru ,

то прямая y = k2x + b2 является наклонной асимптотой слева.

Если хотя бы один из пределов при Основные теоремы о пределах - student2.ru и при Основные теоремы о пределах - student2.ru бесконечен или не существует, то график функции y = f(x) наклонных асимптот не имеет.

Заметим, что на рис. 3.7 прямая y = kx + b является одновременно наклонной асимптотой слева и справа (т. к. k = k1 = k2; b = b1 = b2).

Нетрудно видеть, что если k = 0, то наклонная асимптота превращается в горизонтальную, т. е. горизонтальная асимптота представляет собой частный случай наклонной асимптоты при k = 0.

Основные теоремы о пределах - student2.ru 3.8. Непрерывность функции в точке и на отрезке

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются три условия:

1. Существует f(x0), т. е. значение функции в точке x0.

2. Существует конечный предел Основные теоремы о пределах - student2.ru .

3. Основные теоремы о пределах - student2.ru .

Очевидно, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x0, то ее график можно провести через эту точку, не отрывая карандаша от бумаги (отсюда и название).

Основные теоремы о пределах - student2.ru Если в точке x0 не выполняется хотя бы одно из трех указанных выше условий, то функция y = f(x) не является непрерывной (терпит разрыв) в точке x0.

Невыполнение каждого из условий можно проиллюстрировать рис. 5.8.

Не выполняется:

 
  Основные теоремы о пределах - student2.ru

Рис. 5.8. Невыполнение условий непрерывности функции

Можно доказать следующие свойства функций непрерывных в точке:

1.Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, а с — постоянная величина, то функции

cf(x); Основные теоремы о пределах - student2.ru ; Основные теоремы о пределах - student2.ru ; Основные теоремы о пределах - student2.ru , где Основные теоремы о пределах - student2.ru

также непрерывны в точке x0 .

2.Если функция Основные теоремы о пределах - student2.ru непрерывна в точке x0 , а функция f(u) непрерывна в точке u0 , то сложная функция

Основные теоремы о пределах - student2.ru

непрерывна в точке x0 .

Таким образом, знак предела можно вносить под знак непрерывной функции, т. е.

Основные теоремы о пределах - student2.ru .

3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих области их определения.

Функция y = f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b] (интервале (a, b)), если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).

Если функция y = f(x) в точке x0 не является непрерывной, то точка x0 называется точкой разрыва функции y = f(x).

Принята следующая классификация точек разрыва:

1. Если в точке разрыва x0 функции y = f(x) существует конечный предел Основные теоремы о пределах - student2.ru , то x0 называется точкой устранимого разрыва функции y =f(x) (рис. 3.8, условие 1 и условие 3).

2. Если в точке разрыва x0 функции y = f(x) существуют конечные односторонние пределы Основные теоремы о пределах - student2.ru и Основные теоремы о пределах - student2.ru , то x0 называется точкой разрыва первого рода (рис. 3.8, условие 2).

Точки устранимого разрыва также можно отнести к точкам разрыва 1-го рода, т. к. в этих точках существуют конечные односторонние пределы функции y = f(x).

3. Если в точке разрыва x0 функции y = f(x) хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то x0 называется точкой разрыва второго рода функции y = f(x).

Возвращаясь к вопросу нахождения вертикальных асимптот, можно сформулировать следующий признак существования вертикальной асимптоты:

если x0 – точка разрыва 2-го рода функции y = f(x) и хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке бесконечен, то прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

Наши рекомендации