Характеристики выборочного среднего и выборочной дисперсии.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию от и .
1. ,
где – математическое ожидание генеральной совокупности .
2. ,
где – дисперсия генеральной совокупности .
3.
,
4.
Здесь – теоретический центральный момент –го порядка.
Основные распределения математической статистики
Среди всех распределений, существующих в теории вероятностей, выделим те из них, которые часто используются в статистике. Основными такими распределениями являются следующие: нормальное (гауссовское), хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора. Опишем кратко эти распределения.
Нормальное распределение уже известно из теории вероятностей. Оно является непрерывным с плотностью распределения случайной величины вида:
, ,
где – это математическое ожидание распределения, а – среднее квадратическое отклонение, т.е.
, (дисперсия нормального распределения).
Обозначение: ~ .
С нормальным распределением связаны несколько новых видов распределений. В первую очередь это распределение (хи-квадрат), распределение Стьюдента ( –распределение) и –распределение (распределение Фишера-Снедекора). Опишем эти распределения.
Распределение хи-квадрат.
Пусть случайные величины , , …, – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е. ~ . Случайная величина , определенная как
,
имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Случайная величина принимает только положительные значения и ее плотность распределения определяется формулой:
, .
где есть гамма-функция.
Отметим, что показательное распределение с параметром будет распределением хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
, .
Распределение Стьюдента.
Пусть случайные величины , , , …, – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е. ~ . Случайная величина , определенная как
,
имеет распределение Стьюдента ( -распределение) с степенями свободы. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
, .
-распределение симметрично относительно .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
, .
При больших -распределение будет близко к стандартному нормальному распределению.
Распределение Фишера.
Пусть , , …, ; , …, являются независимыми случайными величинами, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону .
Случайная величина , определенная как
,
имеет распределение Фишера ( –распределение) с параметрами и . Натуральные числа и называют числами степеней свободы. –распределение называют еще иногда распределением дисперсионного отношения. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:
, .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
для , для .
Квантили распределения Фишера порядка и связаны следующей формулой:
.