Некоторые свойства функций

Ограниченные функции. Функция называется ограниченной сверху (снизу) в области , если существует такое число , что для всех выполняется ( ).

Функция называется ограниченной в , если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа и ( ), что для всех выполняется .

Примеры: 1. Функция ограничена снизу на всей числовой оси, так как для всякого числа выполняется , но не ограничена сверху.

2. Функция не ограничена на всей числовой оси, но ограничена на , так как выполняется , т.е. существуют числа , и такие, что .

3. Функция ограничена на всей числовой оси, так как для любого числа выполняется .

4. Функции , , , , , ограничены в своих областях определения.

Монотонные функции. Пусть:

1) функция определена в D;

2) приращение функции .

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) в D в строгом смысле, если для выполняется или , рис.13 ( или , рис. 14), и называется неубывающей (невозрастающей), если или , рис.15 ( или ).

Пример. Функция – монотонно убывающая в интервале .

Действительно, для произвольных приращение функции имеет вид:

(*)

Так как при имеем , следовательно, , тогда из (*) следует, что или , т.е. монотонно убывает в .

Отметим, что функции , , , , , строго монотонны в своих областях определения.

Если функция не является монотонной в области определения, но область определения можно представить в виде объединения промежутков, на каждом из которых функция является монотонной, то функция называется кусочно-монотонной.

Пример. 1. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго возрастает на множествах , и строго убывает на множествах , (рис. 5).

2. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго возрастает на множествах , и строго убывает на множествах (рис. 6).

3. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго возрастает на множествах , (рис. 7).

4. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго убывает на множествах , (рис. 8).

Четные и нечетные функции. Функция определенная в симметричном интервале , называется четной, если , и нечетной, если .

Пример. 1. – нечетная функция, так как она определена на и

.

2. – четная функция, так как она определена на и

.

3. Докажем, что всякую функцию, определенную в , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Действительно,

,

где , .

Так как , то – четная функция; так как , то – нечетная функция. Следовательно, функция есть сумма четной функции и нечетной функции .

Периодические функции. Функция , определенная в D, называется периодической, если существует число такое, что выполняется

.

Наименьшее из Т, для которых выполняется последнее равенство, называется периодом ; тогда ( ) – период функции в широком смысле слова.

Пример. Найти, если существует, период функции ( ).

Решение. Функция определена . По определению или – уравнение для определения ; преобразуем его: . Так как – любое из , то последнее уравнение выполняется, если , отсюда , т.е. . Наименьшее положительное (отличное от нуля) получим при . Итак, функция – периодическая с периодом .

Замечание. Функции , имеют период , функции , – период .

Теорема. Если функция , определенная в , имеет период , а функция , определенная в , – период , то

1) функция , определенная в будет периодической с периодом , если отношение – рациональное число;

2) период – наименьшее общее кратное чисел, и .

Доказательство. 1) По определению

, ,

где , – целые.

Пусть кратное чисел и , тогда и , где и – целые числа, тогда – рациональное число.

, т.е. функция – периодическая с периодом в широком смысле. Если – наименьшее общее кратное чисел и , то – период функции .

Пример. Будет ли периодической функция ?

Решение. Функции и определены и имеют периоды и соответственно. Тогда определена . Так как – иррациональное число, то функция – непериодическая.

Обратные функции

Рассмотрим примеры. Основная элементарная функция , определенная на , каждому числу из множества ставит в соответствие единственное число из отрезка (рис.16). Возникает вопрос, найдется ли для конкретного числа из отрезка значение , такое, что . Непосредственной проверкой убеждаемся, что такими числами будут и (рис. 17).

Действительно, и . Так для находим и .

Таким образом, всякому числу функция ставит в соответствие единственное число , но для всякого числа , отличного от нуля из отрезка можно указать, по крайней мере, две функции и , которые переводят одну и ту же точку из в две разные точки из множества . Функция каждой точке ставит в соответствие единственную точку , а функция каждой точке ставит в соответствие единственную точку . Таким образом, не существует единственной основной элементарной функции, которая переводила бы все точки из множества во все точки множества .

Рассмотрим теперь функцию , (рис. 18), которая отличается от выше рассмотренной функции только областью определения. Эта функция каждому числу ставит в соответствие единственное число . Функция каждому ставит в соответствие единственное число . Таким образом, между числовыми множествами и установлено взаимно однозначное соответствие и, кроме того, . Функция в таком случае называется обратной для функции , а функция , в свою очередь, называется обратной для функции .

Возникает вопрос, в каких случаях для функции существует обратная функция? Ответ дает следующая теорема (приведем ее без доказательства).

Теорема.Если непрерывная функция строго монотонна в области и имеет область значений , то для нее существует однозначная обратная функция , определенная на и с областью значений .

Замечание. Предполагается, что понятие непрерывной функции знакомо из школьного курса математики, хотя бы как функции, график которой – сплошная линия, т.е. его можно нарисовать одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги). Чуть позже дадим строгое определение непрерывной функции.

Пример. Показательная функция является непрерывной и строго монотонной (строго возрастающей при и строго убывающей при ), т.е. удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции. Такой функцией является функция ( ).

Так как ранее условились обозначать функцию символом , а аргумент символом , то в обратной функции символы и меняем местами и имеем обратную функцию в виде .

Тогда функция есть обратная для функции , а функция есть обратная для функции , и, таким образом, и – взаимно обратные функции.

Обратные тригонометрические функции , , , ввели как обратные соответствующим тригонометрическим функциям (этот факт зафиксирован уже в самом названии функций), а затем поменяли местами символы и .

Так функция есть обратная для строго монотонной функции с областью определения и множеством значений ; функция есть обратная функция для строго монотонной функции с областью определения и множеством значений .

Для монотонных функций заданных аналитически обратную функцию можно получить, выразив через (для этого необходимо найти из уравнения ).

Для кусочно-монотонных функций обратную функцию находят на каждом интервале монотонности.

Пример. , , . Функция представлена графиком (рис.19). На отрезке функция строго возрастает, следовательно, существует обратная к ней функция, которую найдем последовательно выполняя преобразования:

.

Так как , то искомой обратной функцией будет с областью определения и множеством значений .

Для убывающей на отрезке функции получим (повторив преобразования) обратную функцию с областью определения и множеством значений .

Отметим, что графики взаимно обратных функций и симметричны относительно прямой (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Действительно, точка графика функции симметрична относительно прямой точке . Если обозначить , то и точка является точкой графика функции при значении аргумента .

Например, графики функций и симметричны относительно прямой (рис. 20).

Аналогично, графики попарно взаимно обратных функций и , и , и , и тоже симметричны относительно прямой .

Элементарные функции

Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиций над основными элементарными функциями.