Список вопросов к экзамену по математике
1. Матрицы, их разновидности. Сложение, умножение на число и их свойства. Множество матриц как линейное пространство.
2. Матрицы, их разновидности. Умножение матриц и его свойства. Элементарные преобразования матриц, их применения.
3. Определители второго и третьего порядков, их свойства Алгебраические дополнения и миноры квадратных матриц. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу) и приведением к треугольному виду.
4. Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
5. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Нахождение ранга матрицы методом Гаусса.
6. Координаты на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи метода координат (расстояние между точками, деление отрезка в данном отношении).
7. Преобразования прямоугольных координат на плоскости и в пространстве (параллельный перенос, зеркальное отражение, поворот).
8. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве (полярная, цилиндрическая и сферическая).
9. Векторы. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число), их свойства. Множество векторов как линейное пространство. Формулы для нахождения координат. Направляющие косинусы и длина вектора.
10. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие коллинеарности двух векторов. Условие ортогональности двух векторов.
11. Векторное произведение векторов, его свойства. Смешанное произведение векторов, его свойства.
12. Уравнение линии на плоскости. Различные виды уравнений линии; примеры. Уравнения поверхности в пространстве. Различные виду уравнений поверхности; примеры.
13. Различные формы уравнения прямой на плоскости (общее, с угловым коэффициентом, в отрезках, параметрическое, каноническое).
14. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
15. Уравнения плоскости (общее, в отрезках, параметрические, проходящей через три точки).
16. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
17. Уравнения прямой в пространстве (общее, параметрическое, каноническое). Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
18. Кривая второго порядка: определение, теорема о классификации.
19. Эллипс и гипербола: определение, геометрические свойства.
20. Парабола и вырожденные кривые второго порядка.
21. Поверхность второго порядка: определение. Однополостный и двухполостный гиперболоиды.
22. Поверхность второго порядка: определение. Эллипсоид, конус.
23. Поверхность второго порядка: определение. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
24. Цилиндрические поверхности второго порядка: эллиптический, гиперболический. Параболический, пара пересекающихся плоскостей, пара параллельных плоскостей, пара слившихся плоскостей, прямая.
25. Системы двух и трех линейных уравнений. Система n линейных уравнений с m неизвестными. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера.
26. Метод Гаусса.
27. Комплексные числа, операции над ними. Свойства операций над комплексными числами. Множество комплексных чисел как подмножество множества действительных.
28. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа.
29. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел.
30. Понятие многочлена. Основные операции над многочленами и их свойства.
31. Деление многочленов с остатком. Кони многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные и квадратные множители.
32. Рациональные дроби и их представление в виде суммы многочлена и простейших дробей.
33. Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор как элемент линейного пространства. Примеры.
34. Пространство Rn. Линейные операции над векторами в Rn.
35. Линейная независимость векторов. Базис. Координаты вектора в базисе.
36. Функции: основные определения. Основные элементарные функции и их графики.
37. Последовательность и её предел. Свойства пределов.
38. Предел функции. Двусторонние пределы, их связь с односторонними. Основные теоремы о пределах.
39. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства и связь между ними.
40. Предел функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций. Классификация точек разрыва. Замечательные пределы.
41. Определение производной, его геометрический и физический смысл. Основная таблица производных.
42. Определение производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные высших порядков.
43. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков. Нахождение дифференциала.
44. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, правило Лопиталя.
45. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на интервале. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.
46. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость функции. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия перегиба.
47. Асимптоты. Теоремы об асимптотах функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
48. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов.
49. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Основные методы интегрирования функций: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям.
50. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.
51. Понятие определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Вычисление определённого интеграла.
52. Геометрический и физический смысл определённого интеграла. Некоторые геометрические и физические приложения: вычисление площади криволинейной трапеции, объёма тела, длины кривой, пройденного пути, работы силы.
53. Дифференциальные уравнения: основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными.
54. ДУ первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, линейные неоднородные уравнения, однородные.
55. ДУ высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
56. Линейные дифференциальные уравнения: структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.
57. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами: однородные (структура решений), неоднородные (структура решений). Уравнения со специальной правой частью.
58. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их решение.