Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке [a;b] даны n+1 различных значений аргумента x: x₀, x₁,…, x_n и известны соответствующие их значению функции y=f(x) : f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, f(x_n)=y_n. Требуется построить полином степени не выше , имеющий в заданных узлах те же значения, что и функция , т.е. L_n(x_i)=y_i при i=1,n

;

,

где L_i⁽ⁿ⁾- коэффициенты Лагранжа.

Следует отметить, если узлы равностоящие, то интерполяционный полином Лагранжа совпадает с интерполяционной формулой Ньютона.

Примечательно то, что формула Лагранжа зависит лишь от y_i, а не от разностей.

Частные случаи.

n=1

При n=1 имеем 2 точки: (x₀;y₀) и (x₁;y₁).

прямая, проходящая через эти точки-

n=2 (x₀;y₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂)

Пример:

L₃(x)=x³+x²-x+2

Для вычисления лагранжевых подмножеств удобно составлять следующую таблицу разности:

x-x0	x0-x1	x0-x2	…..	x0-xn
x1-x0	x-x1	x1-x2	…..	x1-xn
x2-x0	x2-x1	x-x2	…..	x2-x1
…..	…..	…..	…..	…..
xn-x0	xn-x1	xn-x2	…..	x-xn

Обозначим произведение элементов i-ой строки через D_i , а произведение главной диагонали П_n+1(x). Отсюда следует, что:

П_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)

при i=1,n

Для упрощения вычислений можно использовать инвариантность (при равноотстоящих точках лагранжевых коэффициентов),если

x= at+b

x_j= at_j+b при j=0,n

то L_i⁽ⁿ⁾(x)= L_i⁽ⁿ⁾(t)

Схема Эйткена

Чаще всего требуется найти не общее выражение L_n(x) , а значение его при конкретных x , тогда будет удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена:

Последовательно вычисляются многочлены:

и т.д.

Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в таблице:

Xi	Yi	Xi-X	Li-1,i	Li-2,i-1,i	Li-3,i-2,i-1,i
X0	Y0	X0-X	L01	L012	L0123
X1	Y1	X1-X	L12	L123	L1234
X2	Y2	X2-X	L23	L234
X3	Y3	X3-X	L34
X4	Y4	X4-X

Вычисления по схеме Эйткена обычно ведутся до тех пор, пока последовательные значения L_01…n(x) и L_01…n(n+1) не совпадут по заданной точности.

Т.е. процедура является итерационной, легко реализуется и этим обеспечивает возможность автоматического контроля точности вычислений.

Пример: x=27, =0,1

i	xi	yi	xi-x	Li-1,i	Li-2,i-1,i	Li-3,i-2,i-1,i	Li-4,i-3,i-2,i-1,i
		68,7	-13	48,33	49,38	49,31
		64,0	-10	49,71	49,26
		44,0		48,90	48,21
		39,1		50,46
		32,0

Формула Ньютона для неравностоящих узлов

Разделённые разности

Если в таблицах встречаются неравноотстоящие значения аргумента, т.е. таблицы с переменным шагом, то вводят понятие разделённых разностей.

Пусть функция задана таблично, где

- значения аргумента

- значения функции

отношения - разделённая разность первого порядка

- разделённая разность второго порядка

- разделённая разность -го порядка

Разделённые разности удобнее всего рассматривать в таблице - таблице разностей

				Разделённые разности
		1-го	2-го	3-го	4-го

Интерполяционная формула Ньютона для неравностоящих значений аргумента

Дано - значения аргумента

- значения функции

Апроксимировать таблично заданную функцию полиномом порядка не выше

Пример:

		1-го	2-го	3-го
	1,450
		1,127
1,5	3,140		-0,098
		0,795		- 0,012
3,4	4,650		-0,18
		-0,159
6,8	4,110

Погрешность формулы Ньютона для неравностоящих узлов

где - промежуточное значение между точками и