Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения

; .

Ответ: х₁ = ; х₂ = 2.

Упражнения: Решить уравнения:

;	;
;	;
;	;

8. Формула для перехода от одной системы логарифмов к другой.

Очень часто в математике встает задача нахождения логарифма положительного числа b по основанию n (n > 0, n ¹ 1), если известен логарифм этого числа по другому основанию а (а > 0, a ¹ 1). Задача сводится к нахождению переводного множителя, с помощью которого осуществляется переход от одной системы логарифмов к другой.

Задача:

Дано:

;

Найти:

.

Решение:

Û ;

Û ;

Прологарифмируем обе части равенства по основанию а:

Û Û Û

Û Û .

.

Пример:

1. ;
2. .

Вывод:

1. Выражение называется модулем перехода от одной системы логарифмов к другой. Равенство называется формулой перехода от одной системы логарифмов к другой.

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

2. Логарифм числа при данном основании равен логарифму этого же числа при другом основании, умноженному на модуль перехода.

3. Если а = b ,то или , то есть и являются взаимно обратными числами.

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

4. ;

.

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

Пример: .

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений с использованием формулы перехода от одной системы логарифмов к другой.

Пример:

1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

.

Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой приведем логарифмы к основанию 2:

;

;

;

;

; ; ; ;

; х = 8 .

Проверка:

.

Ответ: х = 8 .

1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

.

Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой приведем логарифмы к основанию 2:

;

;

;

;

Умножим обе части уравнения на 4:

;

Введем новую переменную: ;

; ;

; ; у₁ = 2; у₂ = 10;

у₁ = 2 ; lоg₂ x = 2; х₁ = 4;

у₂ = 10; lоg₂ x = 10; х₂ = 1024.

Проверка:

Все корни принадлежат области определения уравнения.

; .

Ответ: х₁ = 4; х₂ = 1024.

Упражнения: Решить уравнения:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

9. Логарифмические неравенства.

Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция при а > 1 является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей.

Пример: Решить логарифмические неравенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

1. .

Решение:

Ответ: .

2. .

Решение:

Ответ: .

3. .

Решение:

Ответ: .

4. .

Решение:

Ответ: .

Упражнения:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .

Контрольные вопросы.

1. Показательная функция, ее свойства и графики.

2. Показательное уравнение, неравенство (определение).

3. Дать определение логарифма числа bпо основанию a .

4. Свойства логарифмов.

5. Логарифмическая функция, ее свойства и графики.

6. Логарифмическое уравнение, неравенство (определение).

7. Формула перехода от логарифма числа по одному основанию к логарифму этого числа по другому основанию.