Образцы решения основных типов дифференциальных уравнений
Пример 1. Решить д.у. .
Решение. Переписав данное д.у. в виде
,
замечаем, что это - д.у. с разделяющимися переменными. Разделим переменные, поделив обе его части на произведение , а затем проинтегрируем получившееся д.у.:
.
После потенцирования находим общее решение: , где .
Непосредственной подстановкой в данное д.у. убеждаемся, что решения уравнения тоже являются решениями исходного дифференциального уравнения.
Ответ. .
Пример 2. Решить д.у. .
Решение. Поскольку
,
т.е. функции и - однородные функции 4-ой степени, то данное д.у. - однородное. В результате подстановки данное д.у. приводится к д.у. с разделяющимися переменными
.
Поделив его на произведение , получим:
.
Проинтегрировав последнее уравнение, имеем:
или после обратной замены , получаем общий интеграл данного д.у.:
,
где .
Другое его решение, не входящее в общее, находим из условия : (в чем можно убедиться, подставив его в данное д.у.).
Ответ.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Переписав данное д.у. в виде:
,
убеждаемся, что это - линейное относительно д.у.
1-йспособ. Применим метод вариации произвольной постоянной. Для этого найдем вначале общее решение соответствующего однородного д.у.
или .
Это д.у. с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим его общее решение: . Проварьируем постоянную , т.е. далее будем считать ее функцией от . Тогда имеем:
. (6)
Найдем отсюда и подставим в данное д.у. Тогда получим:
,
откуда или с учетом (6) окончательно находим
.
Ответ. .
2-й способ. Применим подстановку , где - неизвестные функции от . В новых переменных данное уравнение имеет вид ( ):
. (7)
Приравняем выражение в скобке к нулю и найдем любое частное решение уравнения:
.
Это д.у. с разделяющимися переменными. Одно из его решений . С учетом найденного уравнение (7) принимает вид:
,
откуда . В итоге имеем или .
Ответ. .
Пример 4. Решить д.у. .
Решение. Поскольку
,
то данное д.у. - уравнение в полных дифференциалах в области .
Так как существует функция , такая, что
,
то можно записать следующую систему уравнений:
Проинтегрируем первое уравнение системы:
где - неизвестная функция. Для ее нахождения подставим найденное выражение для функции во второе уравнение системы:
,
откуда имеем: . Учитывая это, запишем выражение для функции : , а тогда данное уравнение в D имеет общее решение:
.
Ответ. .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Поскольку
,
то данное д.у. не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся подобрать интегрирующий множитель. Так как
то
.
Умножим данное д.у. на этот интегрирующий множитель:
, где ,
и решим получившееся д.у. в полных дифференциалах:
Ответ.
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Данное д.у. - уравнение Лагранжа, здесь . После введения параметра (заметим, что ) уравнение примет вид:
.
Продифференцируем последнее уравнение по :
Последнее уравнение - линейное. Применим для его решения метод вариации произвольной постоянной. Для этого вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
.
Разделяя переменные, находим его общее решение . Проварьируем постоянную , считая, что . Тогда . С учетом этого линейное уравнение принимает вид , откуда . Общее решение линейного уравнения .
Итак, данное уравнение Лагранжа имеет общее решение, которое в параметрической форме записывается так:
Кроме того, и - решение данного уравнения, не получаемое из общего.
Ответ: .