Весы на основе упругой силы

Весы – одномерная система с потенциальной энергией

,

x – отклонение указателя от положения равновесия ;

– коэффициент жесткости пружины.

Упругая возвращающая сила

.

При равновесии упругой и гравитационной сил деформация x пропорциональна гравитационной массе тела

.

Добавление массы изменяет показание весов на

,

тогда флуктуации связаны соотношением

,

где чувствительность

.

Чем меньше коэффициент жесткости, тем выше чувствительность весов.

Получим неустранимую погрешность положения указателя весов

,

используя теорему о распределении тепловой энергии по степеням свободы системы. Сравниваем потенциальную энергию упругой силы

с (2.38)

,

в виде

,

находим

, .

С учетом из (2.39)

получаем среднюю потенциальную энергию, связанную с одномерным тепловым хаотическим движением весов:

.

Находим и получаем флуктуацию положения указателя весов

.

Неустранимой погрешностью измерения массы

вызвана хаотическими тепловыми движениями молекул пружины и окружающего воздуха.

Для уменьшения погрешности необходимо уменьшать температуру и увеличивать чувствительность весов. Это требует уменьшениякоэффициента жесткости, который определяет частоту колебаний указателя весов:

.

Используем и находим относительную погрешность измерения

.

При w = 10 Гц, Т = 290 К, m = 10^–3 г, получаем dm / m » 10^–5.

Предельная чувствительность усилителя сигналов

Колебательного контура

LCR – колебательный контур; У – усилитель

Полезный сигнал, регистрируемый колебательным контуром LRC, поступает на усилитель У и далее на регистратор в виде осциллографа. Усилитель с обратной связью увеличивает амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе, начиная с некоторого минимального порогового значения. Оно зависит от коэффициента усиления и определяет минимальную величину полезного сигнала, который можно зарегистрировать устройством. Для устранения зашумленности выходящего сигнала пороговое значение усиливаемого сигнала должно превышать величину тепловых флуктуаций напряжения в контуре. Найдем эту величину.

Хаотическое движение электронов в резисторе R создает кратковременный ток, конденсатор заряжается, в контуре возникают колебания. Из определения электроемкости

получаем связь между среднеквадратичными значениями заряда и напряжения

.

Конденсатор рассматриваем как одномерную систему с энергией

,

где заряд аналогичен импульсу. Сравниваем с гамильтонианом (2.38)

,

находим

, .

Из теоремы (2.39)

получаем среднюю тепловую энергию колебательного контура

.

Откуда находим

,

и флуктуацию напряжения

.

Чем выше температура и меньше электроемкость колебательного контура, тем больше флуктуация напряжения на конденсаторе.

Параметры колебательного контура выражаем через ширину частотной полосы пропускания сигнала и реактивное сопротивление X, используя теорию колебательного контура:

,

.

Мощность, передаваемая от контура к усилителю, достигает максимума при согласованной нагрузке, когда входное сопротивление потребителя, то есть усилителя , равняется сопротивлению источника X

.

Получаем

,

тогда

и флуктуация напряжения

. (П.4.1)

Для приемника с полосой пропускания Dn = 10 кГц, входным сопротивлением R_у = 10 кОм, температурой Т = 290 К получаем флуктуацию напряжения на входе усилителя dU = 1,6 мкВ, что ограничивает предельную чувствительность приемника.

Приведенный вывод не вскрывает механизма возникновения флуктуаций. Рассмотрим этот процесс.