Вариация числа микросостояний по объему

Уравнение состояния газа описывает гиперповерхность в фазовом пространстве, на которой находятся микросостояния идеального газа с фиксированными значениями E, V, N. Интегрируем (2.9)

,

и выражаем число микросостояний внутри гиперповерхности через энергетическую плотность состояний

.

Учитываем (2.8) и (2.10)

,

,

находим

.

Переставляем порядок интегрирований и получаем число микросостояний внутри гиперповерхности

.

Варьируем по объему при постоянной энергии. От объема зависит гамильтониан, тогда

,

.

Учитываем симметрию величин в аргументе дельта-функции и заменяем

,

получаем

.

При вычислении внутреннего интеграла учтено

,

на нижнем пределе , поскольку . Используем (2.10а) в виде

,

тогда

.

По определению среднего для распределения

получаем

. (2.11)

Внутренняя энергияU

Полная энергия описывается гамильтонианом системы H, и включает кинетическую и потенциальную энергию всех частиц системы. В общем случае эта энергия флуктуирует на микроскопическом уровне. При усреднении по фазовому ансамблю получаем макрохарактеристику – внутреннюю энергию

.

Внутренняя энергия является полной энергией системы, усредненной по фазовому ансамблю.

ДавлениеР

Давление равно средней силе, действующей со стороны газа на единицу площади стенки сосуда. Давление выражаем через внутреннюю энергию изолированной системы с помощью первого начала термодинамики.

Первое начало термодинамики связывает количества тепла , переданное газу, с изменением его внутренней энергии и совершенной им работой

,

где

.

Для изолированной системы

,

,

.

Используем

. (2.11)

В результате давление выражается через статистические характеристики микросостояний

. (2.12)

ЭнтропияS

Для равновесного обратимого изотермического процесса изменение энтропии пропорционально количеству полученного тепла

.

Вычисляем

,

где учтено (2.12) и

. (2.9а)

Используем первое начало термодинамики для равновесного процесса

,

получаем

.

Сравниваем сомножители бесконечно малой величины между собой

,

и сомножители конечной величины между собой

,

где k – постоянная. В результате

, (2.13)

, (2.13а)

. (2.14)

При рассмотрении конкретных систем и сравнении результатов с формулами термодинамики будет показано, что k – постоянная Больцмана, тогда kT – тепловая энергия.

Из (2.13) получаем – энтропия пропорциональна логарифму числа микросостояний.

Из (2.14) находим – число микросостояний равно произведению энергетической плотности состояний на тепловую энергию. Следовательно, микросостояния создаются за счет тепловой энергии.