Основные свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ;

4) ;

5) , где - постоянная.

Правила вычисления определенного интеграла

1) Формула Ньютона-Лейбница:

,

где - первообразная для .

2) Интегрирование по частям:

,

где и - непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке .

3) Замена переменной:

,

где - функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке .

4)

Пример 29 Вычислить:

.

Решение.

По формуле Ньютона-Лейбница будем иметь:

Пример 30. Вычислить:

.

Решение.

Используем формулу интегрирования по частям:

=

Пример 31 Вычислить:

.

Решение.

Сделаем замену переменной:

; ;

.

Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Используя геометрический смысл определенного интеграла, нетрудно получить формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми и прямыми :

.

Пример 32

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью .

Решение.

Парабола пересекает ось в точках и ,

.Поэтому: (кв.ед.).

Вычисление объемов тел вращения

При вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями: , , ; вокруг оси , получим объем тела вращения:

.

Пример 33

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и прямой .

Решение.

Для построения кривой найдем точки:

при , ; при , .

А(1,0); В(2,1)

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая имеет непрерывную производную на отрезке , то длина дуги этой кривой находится по формуле:

.

Пример 34

Найти длину дуги кривой от до ( ).

Решение.

Найдем . Тогда .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке ?

2. Что называется определенным интегралом?

3. Каковы геометрический и физический смыслы определенного интеграла?

4. Назовите основные свойства определенного интеграла.

5. Назовите основные методы (правила) вычисления определенного интеграла.

6. Перечислите основные приложения определенного интеграла.

Индивидуальные задания для контрольной работы №2

Задача №1

Найти производные функций

1. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

2. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

3. а) , б) ,

в) , г) .

д) .

4. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

5. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

6. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

7. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

8. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

9. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

10. а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

11. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

12. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

13. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

14. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

15. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

16. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

17. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

18. а) б)

в) г) ,

д)

19. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

20. а) , б) ,

в) , г) ,

д)

Задача №2

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее графики:

1. . 7. . 14. .

2. . 8. . 15. .

3. . 9. . 16. .

4. . 10. . 17. .

5. . 11. . 18. .

6. . 12. . 19. .

13. . 20. .

Задача №3

Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменного).

1. 7. 14.

2. 8. 15.

3. 9. 16.

4. 10. 17.

5. 11. 18.

6. 12. 19.

13. 20.

Задача №4

Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задача №5

Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задача №6

Найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задача №7

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.

1. y= -x+1; 7. у=2 -6х+1;

у= - +3x+6. у= - +х-1.

2. y= +x+2; 8. у= -2х+4;

y= - -5x+7. у= - -х+2.

3. y= -3x+2; 9. у= -5х-3;

y= - -2x+4. у= - 3 +2х-1.

4. y=2 +6х-3; 10. у= -2х-5;

y= - +х+5. у= - -х+1.

5. y=3 -5х-1; 11. у= -2х-5;

y= - +2х+1. у= - -х+1.

6. у= -3х-1; 12. у= +3х-2;

у= - -2х+5. у= - -х+3.

Задача №8

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.

1. y= ; 11. у=2 ;

у= - 2х +4. у= - 3х +14.

2. y= ; 12. у= ;

y = - x+2. у= - х +6.

3. y = 3 ; 13. у =3 ;

y = - x+4. у =- 2х+5.

4. y = ; 14. у = ;

y = - х+3. у = - 2х+9.

5. y = ; 15. у = ;

y = -3х +8. у = - 2х+6.

6. у = ; 16. у = 2 ;

у= - 3х +12. у = - х+10.

7. у = 4 ; 17. у =3 ;

у = - 2х +2. у =- 3х+6.

8. у = ; 18. у= ;

у = - х+2. у =-2х +5

9. у =4 ; 19. у = ;

у= - 2х +6. у = - х +3.

10. у= ; 20. у =3 ;

у= - х+3. у = -5х +8.

Задача №9

Найти длину дуги кривой.

1. y = , 11. , отсеченной

. осью Ох.

2. y =ln sin x, 12.

. 13. между

3. y = 1-ln cos x, точками пересечения с осями

. Оу и Ох.

4. у = ln x, 14. , отсеченной

прямой х= -1.

5. у =ln cos x, 15. у =ln(sin x) ,

.

6. у = 16. y= ln(1- ),

.

7. отсеченной 17. отсеченной

прямой . прямой .

8. 18. у =ln x,

.

9. 19. y = ln (1- ),

.

10. , отсеченной 20. ,

прямой х=4 .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Письменный Д. Т.

Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.

2. Пискунов Н. С.

Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.

3. Шипачев В.С.

Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.

4. Берман Г. Н.

Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.

5. Лунгу К.Н.

Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.

6. Шипачев В. С.

Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.

7. Данко П. Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд.. - М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.