Дополнения и упражнения #87

1). Пусть осуществляется разворот твердого тела на угол 2j вокруг оси Эйлера h=<h₁,h₂,h₃>Î Если r=<r¹,r²,r³>- произвольный вектор из , то с ним взаимно-однозначно связана эрмитова матрица с нулевым следом R₀= . С осью Эйлера h и углом вращения 2j связана унитарная матрица U=cosjs₀+jsinj(h₁s₁+h₂s₂+h₃s₃). Результат вращения вектора r осуществляется преобразованием R₀¢=UR₀U*, где R₀¢= Найдите матрицы U_k, k=1,2,3, осуществляющие разворот ортонормированного репера, заданного единичной матрицей, на угол 90⁰ вокруг его k- ой оси.

#093

Выясним, как связаны элементы w_lk(t) матрицы W(t) с координатами вектора угловой скорости w(t)=<w₁(t),w₂(t),w₃(t)>. Для этого запишем: x+dx=(E+W(t)dt)x = =W(t)xdt.

#098

Обозначим (t) производную матрицы F(t). Оператор, определяемый матрицей (t), ставит в соответствие каждой точке x вращающегося тела, выраженной в координатах подвижного базиса (ее координаты в этом базисе не меняются) вектор скорости этой точки, вычисляемый по формуле = (t)= x₀.

#099

Очевидно, (t)= =-A(t)W_E(t)=-W_R(t)A(t), откуда следуют равенства; W_E(t)=-A^T(t) (t); W_R(t)=- (t)A^T(t);

#100

=-a_k2(t)w_E3+a_k3(t)w_E2, k=1¸3;

=-a_k3(t)w_E1+a_k1(t)w_E3, k=1¸3;

=-a_k1(t)w_E2+a_k2(t)w_E1, k=1¸3.

Для связанного с вращающимся телом базиса: (t)=-W_R(t)A(t), и

=-a_3k(t)w_R2+a_2k(t)w_R3, k=1¸3;

=-a_1k(t)w_R3+a_3k(t)w_R1, k=1¸3;

=-a_2k(t)w_R1+a_1k(t)w_R2, k=1¸3.

Эти уравнения записывают преобразования кватерниона, параметры #101

которого q₁(t), q₂(t) и q₃(t) записаны в координатах вращающегося репера, так что w=w_R. Если параметры кватерниона записаны в неподвижном репере, то w=w_E, a кватернион q необходимо заменить сопряженным. Поэтому знаки при параметрах q₁, q₂ и q₃ должны быть заменены противоположными:

= [-w₁q₁(t)-w₂q₂(t)-w₃q₃(t)], #101

= [w₁q₀(t)-w₂q₃(t)+w₃q₂(t)],

= [w₁q₃(t)+w₂q₀(t)+w₃q₁(t)],

= [-w₁q₂(t)+w₂q₁(t)+w₃q₀(t)].

Эти уравнения записывают преобразования кватерниона, параметры которого q₁(t), q₂(t) и q₃(t) записаны в координатах вращающегося репера, так что w=w_R. Если параметры кватерниона записаны в неподвижном репере, то w=w_E, a кватернион q необходимо заменить сопряженным. Поэтому знаки при параметрах q₁, q₂ и q₃ должны быть заменены противоположными:

= [-w₁q₁(t)-w₂q₂(t)-w₃q₃(t)],

= [w₁q₀(t)+w₂q₃(t)-w₃q₂(t)],

= [w₁q₃(t)-w₂q₀(t)-w₃q₁(t)],

= [-w₁q₂(t)+w₂q₁(t)+w₃q₀(t)].

Разделив вещественные и мнимые части, получим систему четырех дифференциальных уравнений: #103

=- w₃Ima+ w₁Imb- w₂Reb,

=- w₃Rea- w₁Reb+ w₂Imb,

=- w₃Imb+ w₁Ima- w₂Rea,

=- w₃Reb- w₁Rea+ w₂Ima.

Запишем матрицу U= = в виде разложения по единичной матрице s₀= и спиновым матрицам Паули s₁= , s₂= , s₃= Получим: U= (a+d)s₀- (b+g)s₁+ (b-g)s₂+ (a-d)s₃, или U=g₀s₀+j(g₁s₁+g₂s₂+g₃s₃), µ₀=Rea, µ ₁=Imb, µ ₂=Reb, µ ₃=Ima.

Коэффициент g₀, стоящий перед единичной матрицей s₀, имеет смысл косинуса половины угла поворота вокруг единичной оси Эйлера, координатами которой являются числа µ₁, µ₂ и µ₃. При необходимости можно записать соответствующий матрице U кватернион q в виде: q= µ₀+ (iµ₁+jµ₂+kµ₃).

#128

По закону Ньютона, -f_i=0, где f_i- внешние силы, действующие на точку x_i, включая также и силы, образованные связями.

#132 -135

Уравнения вращательного движения в базисе из главных осей запишутся в виде системы уравнений, которые называются уравнениями Эйлера:

=(I₂-I₃)w₂w₃+M₁,

=(I₃-I₁)w₁w₃+M₂,

=(I₁-I₂)w₁w₂+M₃.

Координаты w₁, w₂ и w₃ вектора угловой скорости в теоретической механике часто обозначают через p, q и r, а моменты инерции I₁, I₂, I₃ - через A, B, C. Условимся записывать моменты инерции в порядке их убывания: I₁ I₂ I₃, A B C). В этих обозначениях уравнения Эйлера запишутся в виде:

A -(B-C)qr=M₁,

B -(C-A)pr=M₂,

C -(A-B)pq=M₃.

Рассмотрим полученные уравнения при отсутствии внешнего момента:

A -(B-C)qr=0,

B -(C-A)pr=0,

C -(A-B)pq=0.

Умножив первое уравнение на p,второе на q и третье на r и сложив их, получим Ap +Bq +Cr =0, откуда (Ap²+Bq²+Cr²)=const. Умножая эти уравнения на Ap, Bq и Cr соответственно, получим таким же образом равенство A²p²+B²q²+C²r²=const. Этих два равенства показывают справедливость закона сохранения энергии и закона сохранения полного момента импульса для вращательного движения.

Уравнения Эйлера имеют три стационарных решения:

1) p=p₀=const, q=0, r=0;

2) q=q₀=const, p=0, r=0;

3) r=r₀=const, p=0, q=0.

Каждое из этих решений соответствует вращению тела с постоянной скоростью вокруг одной из его главных осей. Исследуем системы первого приближения для этих движений.

Положив p=p₀+ p, q=q₀+ q, r=r₀+ r, получим для решения p=p₀=const:

A -(B-C) q r=0,

B -(C-A)(p₀+ p) r=0,

C -(A-B)(p₀+ p) q=0.

Если пренебречь членами высшего порядка малости, систему первого приближения можно записать в следующем виде:

=0,

B -(C-A)p₀ r=0,

C -(A-B)p₀ q=0.

Аналогично получаются еще две системы первого приближения для решений q=q₀ и r=r₀.

При q=q₀:

A -(B-C)q₀ r=0,

B =0,

C -(A-B)q₀ p=0;

При r=r₀:

A -(B-C)r₀ q,

B -(C-A)r₀ p=0,

C =0.

Введя обозначения =a², =-b² и =g², запишем характеристические многочлены для систем первого приближения и найдем их корни.

Для системы первого приближения при p=p₀=const, q=0, r=0:

Q₁(l)=det =-l(l²+(gbp₀)²), l₁=0,l_2,3= jW, W²=(gbp₀)².

Для системы первого приближения при q=q₀=const, p=0, r=0:

Q₂(l)=det =l(l²-(agq₀)²), l₁=0, l_2,3= agq₀.

Для системы первого приближения при r=r₀=const, p=0, q=0:

Q₃(l)=det =-l(l²+(abr₀)²), l₁=0, l_2,3= jW, W²=(abr₀)².

#139

Любой вектор x V - в ÅV задается в виде <0,x>. В результате поворота пространства V вокруг оси Эйлера h(t) на угол j=||h|| вектор x перейдет в вектор x₁, определяемый равенством

<0,x>=< ,h(t)>*<0,x₀(t)*< -h(t)>

При бесконечно малом приращении t времени t для вектора x(t+ t) с точностью до величин высшего порядка малости можно записать два выражения – через вектор угловой скорости w(t) и через ось Эйлера h(t):

<0,x(t+ t)>»< ,h(t+Dt)>*<0,x₀(t)>*< ,-h(t+Dt)> и <0,x(t+ t)>»<1, t> < ,h(t)>*<0,x₀(t)>*< ,-h(t)>*<1,- t>.

#148

=w₁+(sinj₁tgj₂)w₂+(cosj₁tgj₂)w₃,

=(cosj₁)w₂-(sinj₁)w₃,

= w₂+ w₃,

=- w₂w₃+ M₁,

=- w₁w₃+ M₂,

=- w₁w₂+ M₃.