Ортогональное (прямоугольное) проецирование и его свойства

Для обозначения точек будем использовать прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры, для обозначения линий - строчные буквы латинского алфавита, для обозначения поверхностей (плоскостей) - прописные буквы греческого алфавита. Возможны и другие обозначения, которые будут введены в дальнейшем.

Возьмем в пространстве произвольную плоскость П₁(плоскость проекций). Пусть точка Арасположена вне этой плоскости (рис. 1.1). Через точку Апроведем прямую s, перпендикулярно плоскости проекций П₁ (s ^ П₁). Прямая s называется проецирующей прямой. Найдем точку A₁ пересечения прямой s с плоскостью П₁. Точка A₁ называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки A на плоскость П₁. Процесс получения точки A₁ называется ортогональным или прямоугольным проецированием точки A на плоскость П₁.

Если точки расположены на одной проецирующей прямой, то ортогональные проекции этих точек совпадают (C₁ = D₁ на рис. 1.1). Такие точки называются конкурирующими.

Ортогональной проекцией фигуры называется множество ортогональных проекций всех точек этой фигуры. На рис. 1.1 ортогональной проекцией кривой m является кривая m₁. Для получения m₁ необходимо построить проекцию каждой точки линии m. Прямые, проецирующие точки кривой на плоскость, образуют проецирующую поверхность D. На рис. 1.1 показано только несколько таких проецирующих прямых, принадлежащих поверхности D.

Рассмотрим основные свойства ортогонального проецирования.

1. Точка проецируется в точку (проекцией точки является точка). Если точка принадлежит плоскости проекций, то точка и ее проекция совпадают (точка проецируется сама в себя). Это следует из определения проецирования.

2. Прямая, в общем случае, проецируется в прямую. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется в точку.

Линия m₁ (рис. 1.1) есть линия пересечения проецирующей поверхности D и плоскости проекций П₁. Если вместо кривой m взять прямую, то поверхность D будет плоскостью, а линия m₁, как линия пересечения двух плоскостей, будет прямой линией.

Таким образом, прямая линия, не перпендикулярная плоскости проекций, проецируется в прямую линию.

Для любой точки прямой, перпендикулярной плоскости проекций, сама эта прямая и является проецирующей прямой, поэтому проекции всех точек совпадут, т.е. прямая в этом случае проецируется в точку.

3. Если точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой.

Проекцией прямой является множество проекций всех ее точек, в том числе и упомянутой в этом свойстве точки.

4. Пересекающиеся прямые в общем случае проецируются в пересекающиеся прямые.

Это легко доказать, если для точки пересечения прямых применить свойство 3. В частном случае проекции пересекающихся прямых могут совпадать или одна из прямых может проецироваться в точку, принадлежащую проекции другой прямой.

5. Параллельные прямые в общем случае проецируются в параллельные прямые.

Проецирующая поверхность D (рис.1.1) для прямой будет плоскостью и называется проецирующей плоскостью. Проецирующие плоскости у параллельных прямых параллельны и пересекаются плоскостью проекций по параллельным прямым (проекциям). В частном случае проекцией параллельных прямых могут быть две точки или совпавшие прямые.

6. Отрезок проецируется в отрезок. Отрезок, перпендикулярный плоскости проекций, проецируется в точку. Длина проекции отрезка равна длине отрезка, умноженной на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций (при проецировании на П₁: ïA₁B₁ï=ï ABïcos a).

Поскольку прямая проецируется в прямую, то и часть прямой (отрезок) проецируется в часть прямой (отрезок). На рис.1.2 отрезок AB проецируется в отрезок A₁B₁. Отрезок AB' проведен параллельно отрезку A₁B₁ (AB' // A₁B₁). Из прямоугольника A₁AB'B₁ и прямоугольного треугольника ABB' имеем ïA₁B₁ï = ïAB'ï = ïA Bïcos a. Длина проекции отрезка меньше длины отрезка (a ¹ 0) или равна длине отрезка (a = 0). Из этого свойства следует следующее свойство ортогонального проецирования.

7. Отрезок, параллельный плоскости проекций, проецируется на нее в параллельный и равный себе отрезок.

8. Отношение длин отрезков AB и CD, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой, при проецировании не меняется.

Угол наклона отрезков, упомянутых в этом свойстве, к плоскости проекций одинаков, поэтому ïA₁B₁ï : ïС₁D₁ï = ïABï cos a : ïCDï cos a = ïABï : ïCDï.

9. Фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на плоскость проекций в равную ей фигуру (в натуральную величину).

Любой отрезок проецируемой фигуры параллелен плоскости проекций (a = 0) и проецируется в равный ему отрезок (длина проекции отрезка равна длине отрезка). Это значит, что и вся фигура проецируется в равную ей фигуру или натуральную величину.

10. Если две плоскости проекций параллельны, то проекции любой фигуры на эти плоскости равны.

Угол наклона любого отрезка фигуры к этим плоскостям проекций одинаков вследствие их параллельности. Поэтому отрезок, соединяющий две любые точки фигуры, будет проецироваться на эти плоскости в равные отрезки. Это значит, что любая фигура будет проецироваться на параллельные плоскости в равные фигуры.

11. Величина проекции угла определяется по формуле

= (1.1)

Угол ВАС проецируется в угол В₁А₁С₁ (рис. 1.3). Точки В и С – это точки пересечения сторон угла с плоскостью проекций, поэтому они проецируются сами в себя. Вывод формулы основан на использовании теоремы косинусов для стороны ВС в треугольниках АВС и А₁В₁С₁.

При изучении свойств ортогонального проецирования рекомендуется выполнять рисунки типа рис.1.1 для каждого свойства и пытаться представить себе фигуры в пространстве. Для понимания всех вопросов начертательной геометрии необходимо мысленно представлять фигуры и плоскости проекций в пространстве.

Кроме ортогонального проецирования существуют центральное, косоугольное и другие виды проецирования. В данном пособии используется только ортогональное проецирование, поэтому в дальнейшем вид проецирования указываться не будет.

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

Изображение фигуры, полученное при проецировании фигуры на плоскость, дает информацию о фигуре. Однако эта информация является неполной. По изображению на плоскости нельзя восстановить фигуру и ее положение в пространстве, т.е. чертеж, содержащий одну проекцию фигуры, необратим. Действительно, по проекции А₁ (рис. 1.1) найти точку А в пространстве невозможно, так как по проекции нельзя найти расстояние точки А до плоскости П₁. По проекции отрезка CD (точка C₁ = D₁) найти длину этого отрезка невозможно. Одним из методов, позволяющих добиться обратимости чертежа, является увеличение числа плоскостей проекций.