Образец выполнения задания № 2. Задача.Дана функция
Задача.Дана функция 
. Найдите ее градиент в точке 
и производную линии 
: 
.
 |
 |
| -3 |
 |
 |
в произвольной точке 
вычисляется по формуле 
(1). Рис. 8
Найдем его.
Найдем эти значения в точке 
.
Отсюда получаем градиент в точке А по формуле (1).
Производная функции 
в точке А по направлению вектора 
вычисляется по формуле 
(2).
В данной задаче 
направлен по касательной к линии 
в точке А (это и означает, что мы ищем производную по направлению линии 
, см. рис. 7).
В общем случае, когда 
имеет уравнение 
, координаты касательного вектора 
в произвольной точке вычисляются по формуле
(знак 
соответствует тому, что в точке А можно нарисовать два противоположно – направленных касательных вектора). В нашей задаче 
: 
, поэтому
,
, 
.
В точке А эти значения получаются такими 
.
Отсюда 
.
Давайте укоротим этот вектор в 12 раз; координаты остаются целыми 
, но дальнейшие вычисления упростятся. По формуле (2) получаем
.
Если мы хотим найти производную в сторону возрастания координаты х, то должно быть 
. В нашей задаче это получится, если у 
взять знак +, так как тогда 
, 
Выбрав таким образом верхний знак, получим 
.
Образец выполнения задания № 3
Алгоритм исследования функции 
на экстремум.
1) Проверить необходимое условие экстремума:
Найти частные производные первого порядка 
, 
.
Решив систему уравнений 
, найти точки возможного экстремума.
2) Проверить достаточные условия экстремума.
Найти частные производные второго порядка 
, 
, 
.
Составить матрицу 
, где 
, 
, 
,
и найти 
.
Вычислить 
в точках возможного экстремума. Если 
, то в данной точке функция имеет экстремум, а именно – максимум при 
(или 
) и минимум при 
(или 
); если 
, то в данной точке экстремума нет; если 
, то требуется дальнейшее исследование.
Образец выполнения задания № 4
Задача.Найдем экстремум функции 
Решение.Найдем частные производные первого порядка:
(1)
Решим систему уравнений:
или 
Из второго уравнения вычтем первое. Получим:
. (2)
Подставим в первое уравнение: 
Отсюда 
Подставим в (2). Будем иметь 
Значит, 
- стационарные точки, в которых возможен экстремум.
Из (1) найдем частные производные второго порядка:
В точке 
эти значения равны: 
Тогда 
. Кроме того, 
поэтому 
- точка минимума.
В точке 
имеем 
Тогда 
Кроме того 
поэтому 
– точка минимума.
Образец выполнения задания № 5
Задача.Найти частные производные второго порядка и дифференциал функции 
.
Решение: Сначала находим частные производные первого порядка 
, 
. Дифференциал функции равен 
Затем вычисляем частные производные от частных производных первого порядка.
, 
,
.
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
Задание № 1
Требуется исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить ее график. Для этого рекомендуется:
1. Определить, в каких интервалах функция существует и непрерывна. Найти точки разрыва функции, если они имеются.
2. Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, т.е. не симметричен ли ее график относительно оси ординат или начала координат.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы, в которых функция сохраняет постоянный знак.
4. Определить вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
7. Наконец, построить график функции, используя все собранные данные (если окажется, что последних недостаточно для того, чтобы составить представление о ходе графика, нужно дополнительно найти несколько лежащих на нем точек).
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание № 2
Найти 
и производную от функции 
в точке 
в направлении линии 
, в сторону возрастания координаты х, сделать чертеж.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание № 3
Исследовать на экстремум.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
9. 
8. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание № 4
Для заданной функции 
найти: 
, 
, 
, 
, 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Содержание Курса «математика»
II СЕМЕСТР