Методика выполнения контрольной работы
Если .
7. При дифференцировании произведения или частного нескольких функций, а также сложно-степенной функции целесообразно использоватьлогарифмическую производную:
если то .
Этот прием называют предварительным логарифмированием.
8. Правило дифференцирования параметрически заданной функции:
если ,тоили.
Задача на составление уравнений касательной и нормали
Касательную и нормаль, проходящие через точку , принадлежащую кривой, определяют три параметра: .
à Если кривая задана явно уравнением , то . Если значение не указано, то надо найти из условий задачи.
à Если кривая задана параметрическими уравнениями: , то y0=y(t0), x0=j(t0),
Если значение параметра не указано, то его надо определить, исходя из условий задачи, так как используется при вычислении и, возможно, какой-либо координаты точки .
Параметры удобно свести в таблицу:
Таблица 1
Вид уравнений касательной и нормали определяется значением параметра . Различают три случая.
1. Если , то
− уравнение касательной,
− уравнение нормали.
2. Если , то
− уравнение касательной,
− уравнение нормали.
3. Если , то
− уравнение касательной,
− уравнение нормали.
В первом случае и касательная, и нормаль − наклонные прямые; во втором случае касательная − горизонтальная прямая (горизонталь), нормаль − вертикальная прямая (вертикаль); в третьем случае касательная − вертикальная прямая, нормаль − горизонтальная прямая.
ЗАДАЧА НА ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ
При вычислении пределов функций, связанных с раскрытием неопределенностей вида , можно использовать правила Лопиталя-Бернулли: , если существует предел . Здесь − конечная или бесконечная величина.
Ниже приведены:
− методика выполнения контрольной работы;
− типовой вариант;
− пошаговое решение типового варианта.
Методика выполнения контрольной работы
При выполнении задач 1−3 следует:
1) определить способ задания функции − явный или параметрический;
2) в случае явного задания упростить функцию и выбрать подходящие правила дифференцирования, определить и реализовать последовательность их применения;
3) в случае параметрического задания функции воспользоваться правилом 7 параметрического дифференцирования и правилами 1-6 при нахождении производных .
В задаче 4 следует:
1) определить способ задания функции − явный или параметрический;
2) в зависимости от способа задания функции выбрать формулы для вычисления параметров искомых прямых, в частности:
○ для явной функции параметр ;
○ для функции, заданной параметрическими уравнениями , найти параметр по формуле ;
3) заполнить табл. 1;
4) по значению выбрать подходящий частный случай − один из трех: 1) , 2) 0; 3) ) и составить уравнение касательной и/или уравнение нормали.
В задаче 5 следует использовать следующую методику.
1) Подставить предельное значение аргумента и найти предел или установить наличие неопределенности или отсутствие предела. В случае неопределенности определить ее вид.
2) Если неопределенность имеет вид , то составить новое предельное выражение согласно правилу Лопиталя. При отыскании производных числителя и знаменателя использовать методику дифференцирования явных функций.
Если получена неопределенность иного вида, то функцию надо преобразовать так, чтобы получилась неопределенность вида и далее вернуться к началу этого пункта.
3)повторить пункты 1) и 2) данной методики для нового предельного выражения . Заметим, что при неоднократном применении правила Лопиталя порядки производных будут расти.
Если в ходе применения правила Лопиталя получается выражение, не имеющее никакого предела, то следует использовать иной способ решения задачи − тождественные преобразования, эквивалентные функции, замечательные пределы или сочетание приемов.
Типовой вариант КР1
Найдите производные функций:
1)
2)
3)
4) Напишите уравнение касательной к кривой в точке, где .
5) Найдите предел
Или
Найдите предел
Или
Найдите предел
Задача 1. Найдите производную функции
1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).
2-й шаг. Упрощаем функцию
.
Выбираем правило 1 для дифференцирования суммы:
Задача 2. Найдите производную функции
1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).
2-й шаг. Упростить функцию нельзя. Данная функция является произведением константы и двух функций: Функция − табличная, −
нетабличная сложная функция:
Выполним дифференцирование в следующем порядке:
− сначала выносим константу за знак производной по правилу 4:
;
− применяем правило 3 дифференцирования произведения:
;
− находим производные двух оставшихся функций:
по таблице производных ;
по правилу дифференцирования сложной функции:
;
− «собираем» ответ:
.
Задача 3. Найдите производную функции
1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана параметрически. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).
2-й шаг. Возможность упрощения функции отсутствует. Применяем правило 8 дифференцирования параметрически заданной функции:
.
В данном примере
Задача 4. Напишите уравнение касательной к кривой в точке, где .
1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).
2-й шаг. Находим параметры касательной: из условий задачи, , так как . Вычисляем параметр по формуле . Функция является
сложно-степенной функцией, производную которой можно найти при помощи предварительного логарифмирования: Дифференцируем
обе части равенства по переменной или
.
При .
3-й шаг. Заполним табл. 1:
4-й шаг. Так как и , то имеем дело с 1-м случаем: − уравнение касательной, или или .
Задача 5. Найдите предел
1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Получена неопределенность, для раскрытия которой применимо правило Лопиталя.
2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: Заметим, что при вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2, 6 и таблица производных.
3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: =
Или
Задача 5. Найдите предел
1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Получаем неопределенность вида , для раскрытия которой применяем правило Лопиталя.
2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: . При вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2 и таблица производных.
3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию:
Или
Задача 5. Найдите предел
1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Получаем неопределенность вида , для раскрытия которой применяем правило Лопиталя.
2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: . При вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2 и таблица производных.
3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: . Получаем неопределенность вида , для раскрытия которой повторно применяем правило Лопиталя.
4-й шаг. Составляем новое предельное выражение:
5-й шаг. Вычисляем предел и получаем ответ: .