Методика выполнения контрольной работы

Если .

7. При дифференцировании произведения или частного нескольких функций, а также сложно-степенной функции целесообразно использоватьлогарифмическую производную:

если Методика выполнения контрольной работы - student2.ru то Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

Этот прием называют предварительным логарифмированием.

8. Правило дифференцирования параметрически заданной функции:

если Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ,тоМетодика выполнения контрольной работы - student2.ruилиМетодика выполнения контрольной работы - student2.ru.

Задача на составление уравнений касательной и нормали

Касательную и нормаль, проходящие через точку Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , принадлежащую кривой, определяют три параметра: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

à Если кривая задана явно уравнением Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , то Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . Если значение Методика выполнения контрольной работы - student2.ru не указано, то Методика выполнения контрольной работы - student2.ru надо найти из условий задачи.

à Если кривая задана параметрическими уравнениями: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , то y0=y(t0), x0=j(t0), Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Если значение параметра Методика выполнения контрольной работы - student2.ru не указано, то его надо определить, исходя из условий задачи, так как Методика выполнения контрольной работы - student2.ru используется при вычислении Методика выполнения контрольной работы - student2.ru и, возможно, какой-либо координаты точки Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

Параметры Методика выполнения контрольной работы - student2.ru удобно свести в таблицу:

Таблица 1

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru
     

Вид уравнений касательной и нормали определяется значением параметра Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . Различают три случая.

1. Если Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , то

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − уравнение касательной,

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − уравнение нормали.

2. Если Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , то

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − уравнение касательной,

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − уравнение нормали.

3. Если Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , то

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − уравнение касательной,

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − уравнение нормали.

В первом случае и касательная, и нормаль − наклонные прямые; во втором случае касательная − горизонтальная прямая (горизонталь), нормаль − вертикальная прямая (вертикаль); в третьем случае касательная − вертикальная прямая, нормаль − горизонтальная прямая.

ЗАДАЧА НА ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

При вычислении пределов функций, связанных с раскрытием неопределенностей вида Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , можно использовать правила Лопиталя-Бернулли: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , если существует предел Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . Здесь Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − конечная или бесконечная величина.

Ниже приведены:

− методика выполнения контрольной работы;

− типовой вариант;

− пошаговое решение типового варианта.

Методика выполнения контрольной работы

При выполнении задач 1−3 следует:

1) определить способ задания функции − явный или параметрический;

2) в случае явного задания упростить функцию и выбрать подходящие правила дифференцирования, определить и реализовать последовательность их применения;

3) в случае параметрического задания функции воспользоваться правилом 7 параметрического дифференцирования и правилами 1-6 при нахождении производных Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

В задаче 4 следует:

1) определить способ задания функции − явный или параметрический;

2) в зависимости от способа задания функции выбрать формулы для вычисления параметров Методика выполнения контрольной работы - student2.ru искомых прямых, в частности:

○ для явной функции Методика выполнения контрольной работы - student2.ru параметр Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ;

○ для функции, заданной параметрическими уравнениями Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , найти параметр по формуле Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ;

3) заполнить табл. 1;

4) по значению Методика выполнения контрольной работы - student2.ru выбрать подходящий частный случай − один из трех: 1) Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , 2) Методика выполнения контрольной работы - student2.ru 0; 3) Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ) и составить уравнение касательной и/или уравнение нормали.

В задаче 5 следует использовать следующую методику.

1) Подставить предельное значение аргумента и найти предел или установить наличие неопределенности или отсутствие предела. В случае неопределенности определить ее вид.

2) Если неопределенность имеет вид Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , то составить новое предельное выражение Методика выполнения контрольной работы - student2.ru согласно правилу Лопиталя. При отыскании производных числителя и знаменателя использовать методику дифференцирования явных функций.

Если получена неопределенность иного вида, то функцию надо преобразовать так, чтобы получилась неопределенность вида Методика выполнения контрольной работы - student2.ru и далее вернуться к началу этого пункта.

3)повторить пункты 1) и 2) данной методики для нового предельного выражения Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . Заметим, что при неоднократном применении правила Лопиталя порядки производных будут расти.

Если в ходе применения правила Лопиталя получается выражение, не имеющее никакого предела, то следует использовать иной способ решения задачи − тождественные преобразования, эквивалентные функции, замечательные пределы или сочетание приемов.

Типовой вариант КР1

Найдите производные Методика выполнения контрольной работы - student2.ru функций:

1) Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

2) Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

3) Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

4) Напишите уравнение касательной к кривой Методика выполнения контрольной работы - student2.ru в точке, где Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

5) Найдите предел Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Или

Найдите предел Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Или

Найдите предел Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Задача 1. Найдите производную Методика выполнения контрольной работы - student2.ru функции Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Упрощаем функцию Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

Выбираем правило 1 для дифференцирования суммы: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Задача 2. Найдите производную Методика выполнения контрольной работы - student2.ru функции Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Упростить функцию нельзя. Данная функция является произведением константы Методика выполнения контрольной работы - student2.ru и двух функций: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Функция Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − табличная, Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

нетабличная сложная функция: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Выполним дифференцирование в следующем порядке:

− сначала выносим константу за знак производной по правилу 4:

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ;

− применяем правило 3 дифференцирования произведения:

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ;

− находим производные двух оставшихся функций:

по таблице производных Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ;

по правилу дифференцирования сложной функции:

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru ;

− «собираем» ответ:

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

Задача 3. Найдите производную Методика выполнения контрольной работы - student2.ru функции Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана параметрически. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Возможность упрощения функции отсутствует. Применяем правило 8 дифференцирования параметрически заданной функции:

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

В данном примере Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Задача 4. Напишите уравнение касательной к кривой Методика выполнения контрольной работы - student2.ru в точке, где Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция Методика выполнения контрольной работы - student2.ru задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Находим параметры касательной: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru из условий задачи, Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , так как Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . Вычисляем параметр Методика выполнения контрольной работы - student2.ru по формуле Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . Функция Методика выполнения контрольной работы - student2.ru является

сложно-степенной функцией, производную которой можно найти при помощи предварительного логарифмирования: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Дифференцируем

обе части равенства по переменной Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru или

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

При Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

3-й шаг. Заполним табл. 1:

Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

4-й шаг. Так как Методика выполнения контрольной работы - student2.ru и Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , то имеем дело с 1-м случаем: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru − уравнение касательной, или Методика выполнения контрольной работы - student2.ru или Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

Задача 5. Найдите предел Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Получена неопределенность, для раскрытия которой применимо правило Лопиталя.

2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Заметим, что при вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2, 6 и таблица производных.

3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru = Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Или

Задача 5. Найдите предел Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Получаем неопределенность вида Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , для раскрытия которой применяем правило Лопиталя.

2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . При вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2 и таблица производных.

3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

Или

Задача 5. Найдите предел Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru Получаем неопределенность вида Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , для раскрытия которой применяем правило Лопиталя.

2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . При вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2 и таблица производных.

3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru . Получаем неопределенность вида Методика выполнения контрольной работы - student2.ru , для раскрытия которой повторно применяем правило Лопиталя.

4-й шаг. Составляем новое предельное выражение: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru

5-й шаг. Вычисляем предел и получаем ответ: Методика выполнения контрольной работы - student2.ru .

Наши рекомендации