Лабораторная работа № 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Теоретический минимум

1. Однородная и неоднородная система линейных уравнений.

2. Совместная и несовместная система линейных уравнений.

3. Определенная и неопределенная система линейных уравнений.

4. Основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений.

5. Ранги основной и расширенной матриц системы линейных уравнений.

6. Теорема Кронекера-Капелли.

7. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений.

8. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

9. Метод Гаусса решения линейной системы уравнений.

Задания

1. Найти решение систем (1) и (2), используя формулы Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

2. Используя метод Гаусса, найти общее и базисное решения системы (3).

№	Системы	№	Системы	№	Системы
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.
	1. 2. 3.		1. 2. 3.		1. 2. 3.

Справочный материал

ко 2-й лабораторной работе

1. Системаmлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными–

a₁₁∙x₁ + a₁₂∙x₂ + … + a_1n∙x_n = b₁,

a₂₁∙x₁ + a₂₂∙x₂ + … + a_2n∙x_n = b₂,

………………………………………

a_m1∙x₁ + a_m2∙x₂ +…+ a_mn∙x_n = b_m,

где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные, a_ij (i = , j = ) – числовые коэффициенты при неизвестных, числа в правой части системы b_i (i = ) – свободные члены системы; отсутствие каких-либо неизвестных в уравнении равносильно наличию нулевых коэффициентов при этих неизвестных.

2. Основная матрица системы линейных уравнений– матрица коэффициентов при неизвестных в системеуравнений:

А = ,

строки матрицы соответствуют уравнениям системы, столбцы – неизвестным.

3. Расширенная матрица системы линейных уравнений– матрица вида

(А|B) = .

4. Ранг основной матрицы системы– число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной основной матрицы системы А.

5. Ранг расширенной матрицы системы– число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной расширенной матрицы системы (А|B).

6. Матричная форма записи системы линейных уравнений:A∙X = B, где матрица – вектор-столбец неизвестных, матрица – вектор-столбец свободных членов, А – основная матрица системы.

7. Однородная система – система уравнений, все свободные члены которой равны нулю; в матричной форме – система с нулевым вектором-столбцом В.

8. Неоднородная система – система уравнений, хотя бы один свободный член которой отличен от нуля.

9. Решение системы – совокупность значений неизвестных, при которых каждое уравнение системы обращается в тождество.

10. Совместная система – системауравнений, имеющая хотя бы одно решение; однородная система уравнений всегда совместна, так как ей удовлетворяет нулевое (тривиальное)решение: x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

11. Несовместная система– системауравнений, которая не имеет ни одного решения.

12. Определенная система– совместная системауравнений, имеющая единственное решение.

13. Неопределенная система – совместная системауравнений, которая имеет более одного решения.

14. Теорема Кронекера-Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы.

15. Свободные неизвестные – неизвестные в решении неопределенной системы уравнений, через которые можно выразить все остальные; число свободных неизвестных равно числу неизвестных в системе минус ранг основной (или равный ему ранг расширенной) матрицы системы.

16. Базисные неизвестные – неизвестные, которые в решении неопределенной системы уравнений выражены через свободные; число базисных неизвестных равно рангу основной (или равному ему рангу расширенной) матрицы системы.

17. Частное решение системы – каждое решение неопределенной системы уравнений при заданных значениях свободных неизвестных-параметров.

18. Общее решение системы – совокупность всех частных решений системы уравнений.

19. Базисное решение системы – частное решение неопределенной системы уравнений, в котором все свободные неизвестные приравнены нулю.

20. Формулы Крамера – формулы расчета решения системы n линейных уравнений с n неизвестными A∙X = B, для которой определитель системы Δ= det A ≠ 0: х_j = Δ_j ∕ Δ, где Δ_j – дополнительные определители системы, j = , получаемые из определителя системы заменой соответствующего j-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при неизвестной x_j) столбцом свободных членов данной системы.

21. Матричный способ решения системы линейных уравнений, для которой Δ = det A ≠ 0: X = А⁻¹∙B, где А⁻¹ – обратная матрица к основной квадратной матрице системы А; матрица В – вектор-столбец свободных членов системы; матрица Х – вектор-столбец неизвестных системы.

22. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений – метод решения системы линейных уравнений, предусматривающий прямой ход, в процессе которого расширенная матрица системы (А|B) элементарными преобразованиями ее строк приводится к ступенчатому виду, и обратный ход, в процессе которого последовательной подстановкой найденных значений базисных неизвестных находится решение системы.