Система зарядов во внешнем электростатическом поле

Рассмотрим распределение зарядов в электростатическом поле, которое зависит от координат.

Есть область, где распределён заряд, эту область пронизывают силовые линии поля. Потенциальная энергия этой системы:

здесь , где - точка наблюдения. - внутри области, она фиксирована, точка с зарядом – это , тогда:

и , где - характерный параметр (из вопроса о потенциале в бесконечно удалённой точке).

Напишем разложение функции в точке :

Тогда:

-интегрируем по

Рассчитаем

где - суммарный заряд.

Используем метод из задачи о вычислении потенциала системы зарядов:

Здесь - квадрупольный момент.

Каждый последующий член разложения этого ряда относится к предыдущему члену как .

10 § 13. Векторный потенциал системы стационарных токов. Приближение линейного тока

Так как токи и поля стационарные, то происходит разделение в уравнениях Максвелла электрического и магнитного полей:

Для потенциала тогда получим (с учетом калибровки Кулона):

Частное решение этого уравнения можно найти через функцию Грина:

Пусть ищем потенциал в точке , тогда

Переход к неограниченной среде даёт:

Тогда имеем:

В выражении оператор действует на , тогда его можно внести под знак интеграла:

Система движущихся зарядов – частный случай. Плотность тока .

Тогда :

где - скорость заряда в точке .

Тогда:

Это векторный потенциал системы перемещающихся точечных зарядов. Здесь заряды движутся с , т.е.

Чтобы рассчитать , надо брать от каждого элементарного объёмчика площадку и интегрировать по всему току. Если размеры сечения проводника много меньше его длины, либо когда точка наблюдения сильно удалена, то неоднородностью тока в сечении можно пренебречь. На языке интегралов это пренебрежение сводится к:

Это есть приближение линейного тока, т.е. ток течёт по проводнику, сечение которого стремится к нулю. Тогда для потенциала имеем:

Если имеется система токов, то формулу можно обобщить:

11 § 14. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля. [Условия квазистационарности поля.]

Уравнения Максвелла в среде:

Уравнения связи для однородной изотропной среды:

Будем рассматривать немагнитные материалы, т.е. .

Случай квазистационарных полей означает, что поля считаем в одних случаях стационарными, а в других случаях – не стационарными. Для квазистационарных полей:

1) , а отбрасываем, т.к.

2) - оставляем как есть.

Критерий применимости:

Если , то . Слагаемое . В гауссовой системе единиц имеет размерность как .

Составим отношение для сравниваемых слагаемых:

Это есть критерий или условие квазистационарности. И тогда:

Рассмотрим, как упрощается :

(14.1)

Запишем закон сохранения заряда в форме уравнения непрерывности:

,

Используем (14.1), тогда:

, где

Общее решение этого уравнения:

Для сред с высокой проводимостью мала, , где - период, тогда:

.

Но поле может и не меняться по гармоническому закону, а может меняться как угодно, тогда - время, за которое поле меняется существенно.

.

Тогда

, и

Т.е. заряды быстро рассасываются. Значит для квазистационарного случая

В итоге получаем для квазистационарного поля систему уравнений Максвелла:

В квазистационарных полях есть эффекты:

1)Скин-эффект – быстропеременное поле вытесняется на поверхность проводника.

2)Токи Фуко – переменное магнитное поле создаёт электрические токи внутри проводника.

Условия квазистационарности поля:

1) Мы уже рассмотрели:

2) Характерные параметры линейного проводника характерных параметров поля .

- расстояние, на котором поле существенно меняется за время (если пускаем волну, то - длина волны; если изменение поля гармоническое, то - период).

3) Если длина пробега носителя тока – электрона , то она гораздо меньше параметра поля , т.е. .

4) Если носителями тока являются перемещающиеся электроны, то вводим характеристику , где - длина пробега электрона, а - его скорость. Тогда:

3) и 4) позволяют записывать закон Ома без учёта пространственно-временной дисперсии, в простой форме: .

12 § 15. Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля

Уравнения Максвелла в случае квазистационарности:

Здесь учтено, что и .

На два последних уравнения Максвелла подействуем :

- уравнение квазистационарного поля

Аналогично получаем для :

Пусть ; , тогда:

где

Размерность

- параметр глубины проникновения поля . Мы получили уравнение Гельмгольца:

Вид решения для зависит от формы области, где ищется решение. В случае полупространства (Z ≥ 0)

- где k = k₊

получим . Это даёт граничное условие

Если k = k_-, то это даст граничное условие , что не объясняется ни физически, ни подтверждается экспериментально. Таким образом, следует брать k = k₊

-параметр:

Для поля аналогично:

- решение для полупространства.

Будем учитывать проникновение полей и только на глубину , т.к. дальше их проникновение мало, и его можно не учитывать, хотя оно существует.

13 § 16. Уравнения Максвелла электромагнитных волн в вакууме. Волновое уравнение в случае вакуума

Нормальные электромагнитные волны в вакууме – это поля, которые могут существовать в отсутствии источников.

Будем рассматривать нормальные волны (т.е. без учёта источников). Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид:

Величины и определяют свойства источников поля. Нормальные волны существуют без источников, тогда здесь уравнения Максвелла:

В случае вакуума волновое уравнение принимает вид:

ð

Аналогичное уравнение получаем для :

ð

Здесь будем использовать калибровку поперечных волн ( ), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда: