Приближенные развертки развертывающихся поверхностей

Построение приближенных разверток выполняется в следующей последовательности:

1) заданную развертывающуюся линейчатую поверхность заменяют (аппроксимируют) гранной поверхностью;

2)строят точную развертку гранной поверхности;

3)точную развертку принимают за приближенную развертку заданной поверхности.

Приближенные развертки развертывающихся поверхностей - student2.ru Приближенные развертки развертывающихся поверхностей - student2.ru Для некоторых линейчатых развертывающихся поверхностей нет необходимости в их замене гранными поверхностями. Так, например, отсек цилиндрической поверхности вращения радиуса r и высотой h имеет разверткой прямоугольник со сторонами h и 2pr (рис. 13.5).

Разверткой конической поверхности вращения высотой h и основанием радиуса r является сектор радиуса R = Приближенные развертки развертывающихся поверхностей - student2.ru c углом a = Приближенные развертки развертывающихся поверхностей - student2.ru (рис. 13.6). Рассмотрим пример построения приближенных разверток.

Задача. Дан отсек конической поверхности (рис. 13.7). Построить его приближенную развертку.

Приближенные развертки развертывающихся поверхностей - student2.ru Приближенные развертки развертывающихся поверхностей - student2.ru Плоскую кривую линию – направляющую конической поверхности вначале заменяют вписанной ломаной линией ABCD(A1B1C1D1, A2B2C2D2), которая по условию задачи принадлежит плоскости проекций П1 и поэтому A1B1C1D1 – ее НВ. Затем соединяют вершины ломаной с вершиной S конической поверхности и получают вписанную пирамидальную поверхность SABCD, которой заменяют данную коническую поверхность. Используя метод прямоугольного треугольника, строят диаграмму НВ ребер вписанной пирамидальной поверхности. При этом SS0 – общая разность высот концов ребер пирамиды; SD = S1D1, SC = S1C1, SB = S1B1, SA =

= S1A1; S0D, S0C, S0B, S0A – представляют собой НВ ребер пирамиды. SDCBA – развертка боковой поверхности заданного конического отсека.

Задача. Дан отсек поверхности эллиптического цилиндра (рис. 13.8). Построить развертку ее боковой поверхности.

Впишем в данную поверхность некоторую призматическую поверхность, разделив направляющую линию цилиндра – окружность, на равное число частей, например на 12 (на рисунке, в силу симметричности заданной поверхности, для простоты построений выполнено деление половины поверхности на 6 частей). Боковые ребра вписанной призмы являются фронталями, а ее основания – многоугольники принадлежат горизонтальным плоскостям уровня. По этой причине боковые ребра проецируются на П2 в НВ, а многоугольники оснований – в НВ на П1.

Отмеченные условия задачи соответствуют методу раскатки для построения развертки вписанной призмы. Поскольку призма имеет плоскость симметрии, проходящую через линию центров образующих эллиптический цилиндр окружностей и являющуюся фронтальной плоскостью уровня, то для сокращения построений выполним построения развертки только половины призмы. Вращение призмы по методу раскатки следует начинать с ребра КК1 1К11, К2К21). Поэтому плоскостью развертки призмы будет фронтальная плоскость уровня, проходящая через ребро КК1. Последовательным вращением вокруг ребер призмы добиваемся совмещения всех ее граней с плоскостью развертки. При этом К2F = K21F1 = = K11F11 = K1F1; FE = F1E1 = F11E11 = F1E1 и т. д. Полученный многоугольник ABCD… D1C1B1A1 представляет собой точную развертку половины боковой поверхности вписанной призмы, которая в свою очередь определяет приближенную развертку соответствующей половины поверхности эллиптического цилиндра.

Приближенные развертки развертывающихся поверхностей - student2.ru Задача. Дан отсек торсовой поверхности (рис. 13.9). Построить его развертку.

Торсовая поверхность – это линейчатая развертывающаяся поверхность, образованная касательными прямыми к пространственной кривой, которая имеет название ребра возврата этой поверхности. В нашей задаче отсек заданной поверхности ограничен ребром возврата а (а1, а2), плоской кривой m (m1, m2) и отрезком АА1 ее образующей. Заменим кривую m вписанной ломаной линией A1B1C1D1E1F с проекциями A11B11C11D11E11F1 и A21B21C21D21E21F2. Затем поступим следующим образом:

1) соединим точки А и В1 для получения отрезка АВ11В11, А2В21);

2) отметив точку пересечения АВ1 ∩ а = В(В1, В2), соединим точки В и С1 для получения отрезка ВС11С11, В2С21);

3) отметив точку пересечения ВС1 ∩ а = С(С1, С2), соединим точки С и D1 для получения отрезка СD11D11, C2D21);

4) отметив точку пересечения СD1 ∩ а = D(D1, D2), соединим точки D и Е1 для получения отрезка DЕ1(D1Е11, D2Е21);

5) отметив точку пересечения DЕ1 ∩ а = Е(Е1, Е2), соединим точки Е и F1 для получения отрезка EF(E1F1, E2F2).

В итоге выполнения построений получим вписанный в ребро возврата а пространственный многоугольник ABCDEF(A1B1C1D1E1F1, A2B2C2D2E2F2) и вписанную в торсовую поверхность гранную поверхность с ребрами АА1, АВ1, ВС1, СD1, DE1, EF.

Очевидно, гранями вписанной в торсовую поверхность гранной поверхности являются треугольники, у которых две вершины являются вершинами плоской ломаной линии, вписанной в линию m, а третья вершина – это вершина пространственной ломаной, вписанной в ребро возврата а. Сторона одного из двух соседних треугольников принадлежит стороне другого и служит ребром гранной поверхности. Дальнейшие построения заключаются в определении НВ двух из трех сторон каждого треугольника методом прямоугольного треугольника, поскольку третья сторона спроецирована на П1 в НВ. Для этого строится диаграмма НВ сторон треугольников – граней. При этом на прямой АА0 от точки А0 откладываются разности высот концов отрезков – сторон треугольников, а по оси х от точки А0 – длины горизонтальных проекций этих сторон. Причем А0F0 = E1F1, А0E01 =

= D1E11, А0D01 = C1D11, А0C01 = B1C11, А0В01 = А1В11, А0A1 = А1A11.Затем выполняются последовательные построения треугольников – граней по трем их сторонам, приводящие к плоской области, ограниченной линией ABCD…D1C1B1A1. Эта плоская область будет приближенной разверткой заданной торсовой поверхности.

Наши рекомендации