Комплексный чертеж точки

Рассмотрим проецирование точки на три и две плоскости проекций. В пространстве зададим прямоугольный параллелепипед AA₂A_zA₃A₁A_xOA_y (рис. 2.1). Свойства этой фигуры известны из курса геометрии средней школы: ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу; каждая грань – прямо-

угольник; любое ребро параллельно трем ребрам и перпендикулярно восьми ребрам; параллельные ребра имеют одинаковую длину.

Через ребра, выходящие из вершины O, проведем оси x, y, z (рис. 2.2). Система Oxyz является декартовой системой координат (оси перпендикулярны, единица измерения одинакова по всем осям, точка O – начало координат).

Через грани, проходящие через точку O, проведем плоскости П₁, П₂, П₃ (рис. 2.3). Тогда оси x и y принадлежат плоскости П₁ (горизонтальная плоскость проекций), оси x и z принадлежат П₂ (фронтальная плоскость проекций), оси y и z принадлежат П₃ (профильная плоскость проекций). Пространство делится плоскостями проекций П₁, П₂ и П₃ на восемь частей – октантов. Номера их показаны на рис. 2.3.

Пусть точка А является точкой пространства, для которой мы хотим построить комплексный чертеж. Тогда, ортогонально проецируя точку А на П₁, получим точку А₁. Действительно, точка А₁ принадлежит П₁, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости П₁, т. е. А₁ – ортогональная проекция точки А на плоскость П₁. Точка А₁ – горизонтальная проекция точки А. Ортогонально проецируя точку А на П₂, получим А₂ (фронтальная проекция точки А), ортогонально проецируя точку А на П₃, получим А₃ (профильная проекция точки А). Доказательство такое же, как и для проекции А₁. Обратим внимание на то, что при проецировании точки на две плоскости проекций фигура AA₁A_xA₂ – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси Ox.

Безразмерное число, по абсолютной величине равное расстоянию от точки А до плоскости проекций и взятое со знаком, называется координатой точки. Так, например, координата x_A (измеряется вдоль оси x) по абсолютной величине равна длине отрезка А₃А и положительна, если точка А находится в том же полупространстве относительно плоскости П₃, что и положительная полуось оси x. В противном случае координата отрицательна. Все ребра параллелепипеда, параллельные и равные А₃А будем называть координатными отрезками x_A. Это отрезки А₃А, А_yА₁, ОА_x, А_zА₂. Длины этих отрезков, взятые со знаком, являются координатой x_А точки А. Аналогично вводятся и координатные отрезки y_А и z_А. Координатные отрезки y_А: А₂А; А_xА₁; ОА_y; А_zА₃. Координатные отрезки z_А: А₁А; А_yА₃; ОА_z; А_xА₂. Напомним, что ломаная ОА_xА₁А называется координатной ломаной. Ее звенья – координатные отрезки x_А, y_А, z_А. Запись В(3; 2; 5) означает, что координата x_В = 3, координата y_В = 2, координата z_В = 5.

Будем рассматривать только те точки и линии, которые расположены в плоскостях проекций и выполним повороты плоскостей П₁ и П₃ вокруг осей x и y соответственно до совмещения с плоскостью П₂. Направления поворотов на рис. 2.3 показаны штриховыми линиями. Плоскость П₂ является плоскостью чертежа. После поворота оси координат займут положение, показанное на рис. 2.4.

Ось y, двигаясь с плоскостью П₁ попадает на ось z, а двигаясь с плоскостью П₃, попадает на ось x. Это второе положение оси y обозначим y'. Достраивая ребра параллелепипеда, расположенные в плоскостях проекций, получим рис. 2.5. Поскольку ребра параллелепипеда, проходящие через вершину А_x, взаимно перпендикулярны, то получим, что А₂А_x и А_xА₁ расположены на одной прямой, перпендикулярной оси x. Аналогично отрезки А₂А_z и А_zА₃ расположены на одной прямой, перпендикулярной оси z. Прямые (А₁А₂) и (А₂А₃) называются линиями проекционной связи (иногда под линиями проекционной связи понимают соответствующие отрезки этих прямых).

На рис. 2.5 обозначены координатные отрезки x_А, y_А, z_А. Для того чтобы обеспечить линейную связь между А₁ и А₃, введем прямую k (постоянная прямая чертежа). Ломаную А₁А_kА₃ (или две пересекающиеся прямые А₁А_k и А_kА₃) будем считать линией проекционной связи для А₁ и А₃.

Таким образом, точке А пространства соответствует изображение на плоскости, состоящее из трех проекций А₁, А₂, А₃, связанных между собой линиями проекционной связи, которое называется комплексным чертежом точки A в системе (П₁П₂П₃). Этот чертеж обратим, так как на нем присутствуют все три координатных отрезка, что устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их изображениями на плоскости.

В курсе черчения, при изображении предметов на чертеже, горизонтальная проекция называется видом сверху, фронтальная – видом спереди, профильная – видом слева.

Если известны А₁ и А₂, то А₃ можно построить. Достаточно провести через А₂ линию проекционной связи перпендикулярно оси z и через А₁ – ломаную линию проекционной связи. Пересечение этих линий и будет точкой А₃. Кроме того, на чертеже, содержащем только А₁ и А₂, присутствуют все координатные отрезки, т. е. такой чертеж тоже обратим. Изображение точки А, состоящее из проекций А₁ и А₂, связанных между собой линией проекционной связи, называется комплексным чертежом точки А в системе (П₁П₂) или комплексным чертежом. При получении такого чертежа плоскость П₃ не вводится. Пространство двумя плоскостями П₁ и П₂ делится на четыре части – четверти. Номера четвертей совпадают с номерами первых четырех октантов.

Для построения комплексного чертежа точки А(x_А, y_А, z_А) необходимо построить по координатам А₁(x_А, y_А) и А₂(x_А, z_А). Если рассматривается комплексный чертеж в системе (П₁П₂П₃), то можно по координатам построить А₃(y_А, z_А), при этом используется ось y'. Можно А₃ построить и по линиям проекционной связи. При откладывании координатных отрезков на отрицательных полуосях необходимо обратить внимание на то, что отрицательные полуоси одних осей совпадают с положительными полуосями других осей.

На рис. 2.6 приведены комплексные чертежи в системе (П₁П₂П₃) точек А(3; 4; 2) и В(2; 3; –2), С(–1; 0; 3). Единица измерения помечена штрихами на координатных отрезках. Точка А находится в первом октанте, точка В – в четвертом октанте, точка С принадлежит плоскости П₂. О точке С можно сказать, что она принадлежит пятому и шестому октантам одновременно. На рис. 2.7 приведены комплексные чертежи в системе (П₁П₂) точек К(4; 2; 2) и L(5; –3; 4), M(6; –2; –3), N(1; 3; –5), F(–2; 3; 4). Точки К и F находятся в первой четверти, точка L – во второй, точка М – в третьей, точка N – в четвертой четверти.

Принадлежность точки определенной четверти или октанту можно выявить по знакам координат x, y, z этой точки. Для точек каждой четверти или октанта характерны определенные знаки координат. Можно представить координатные плоскости, оси координат (рис. 2.3) и мысленно построить координатную ломаную точки (ОA_xА₁А на рис. 2.3) и увидеть в какой четверти или октанте находится точка.

Знаки координат x, y, z в октантах: 1(+; +; +); 2(+; −; +); 3(+; −; −); 4(+; +; −); 5(−; +; +); 6(−; −; +); 7(−; −; −); 8(−; +; −).

Знаки координат в четвертях: 1(±; +; +); 2(±; −; +); 3(±; −; −); 4(±; +; −).

В дальнейшем рассматриваются комплексные чертежи фигур в системе (П₁П₂). Единица измерения по всем осям одинакова – один миллиметр и специально помечаться штрихами не будет.