Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница

Плоскости П1 и П2 принято называть горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, а проекции точек и других геометрических фигур на эти плоскости - соответственно горизонтальными и фронтальными проекциями.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Пространственная модель плоскостей проекций с заданными на них горизонтальной и фронтальной проекциями А1 и А2 точки А (рис. 2.2) хотя и определяет положение точки А в пространстве, но неудобна в использовании. Для того, чтобы превратить пространственную систему плоскостей проекций в плоскую фигуру, совмещаем плоскости проекций. При этом плоскость П1, вращаясь вокруг оси x, опускается вниз до совмещения с плоскостью П2. На рис. 2.3 изображены совмещенные плоскости проекций

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru и проекции точек на них.

Совмещенные плоскости проекций изображаются с помощью проекций осей координат - оси x12, представляющей собой слившиеся горизонтальную и фронтальную проекции оси x, оси z2 - фронтальной проекции оси z , и оси y1 - горизонтальной проекции оси y. Оси z2 и y1 расположены вертикально по одной прямой и по разные стороны от точки О. В ряде случаев оси z2 и y1 не обозначают (рис. 2.4).

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Поле чертежа представляет собой проекции совмещенных плоскостей проекций, а весь чертеж является моделью трехмерного пространства.

Вместе с проекциями А1, А2 точки А и прямой, связывающей эти проекции, рис. 2.3 и рис. 2.4 каждый представляют собой двухкартинный комплексный чертеж точки (эпюр точки).

Впервые описал и обосновал комплексный чертеж точки, применяя совмещение плоскостей проекций, известный французский ученый Гаспар Монж, который жил и творил во времена Великой Французской революции.

Труд «Начертательная геометрия» был написан Монжем в 1775 году. В те времена метод Монжа было военной тайной, так как этот метод давал большие преимущества французской промышленности. Монжу разрешили опубликовать свой труд только в 1795 году, через 20 лет.

Метод изображения с помощью совмещения плоскостей проекций вошел в историю техники как метод Монжа.

Отличительной особенностью комплексного чертежа точки является то, что горизонтальная и фронтальная проекции точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к горизонтальной оси x12эпюра. Действительно, порознь имеет место А1Аx1 Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru x1 и А2Аx2 Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru x2, но так как горизонтальная и фронтальная проекции оси x1 и x2 совпадают, образуя x12, и проекции точки Аx1 и Аx2 совпадают, образуя А12, а при вращении П1 вокруг оси x отрезки А1Аx1 и А2Аx2 не меняют своего положения по отношению к одноименным проекциям оси x, то после совмещения получается, что из одной точки А12 слившихся проекций оси x12 выходят два отрезка А12А2 и А12А1 , порознь перпендикулярные к этой оси. Следовательно, эти отрезки лежат на одной прямой.

Перпендикуляр к оси эпюра, связывающий проекции А1 и А2, называется линией проекционной связи.

Комплексный чертеж точки вполне определяет ее положение в пространстве.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru 2.1.2. Замена плоскостей проекций.Плоскостей, перпендикулярных к плоскости П1, кроме плоскости П2, можно провести множество, и точно также к плоскости П2 можно провести множество перпендикулярных плоскостей.

Рассмотрим, каким образом необходимо преобразовать чертеж, чтобы заменить плоскость П2 на П4 , причем П4 Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru П1. На рис. 2.5 изображена система плоскостей проекций П12 с осью x12. Назовем ее старой системой. Введем плоскость П4 , перпендикулярную П1. Новая система плоскостей проекций П14 имеет ось проекций x14. Проекциями точки А в старой системе были А1 и А2, а в новой системе стали А1 и А4. Точка А4 получена ортогональным проецированием точки А на плоскость П4. На осях проекций x12 и x14 не отмечено начало координат, потому что координата x в данном преобразовании не нужна.

При замене одной из плоскостей проекций, как видно из рис. 2.5, имеется два инварианта (величины, остающиеся постоянными при преобразованиях):

1) проекция точки на незаменённую плоскость проекций. В данном случае это точка А1;

2) расстояние точки до незаменённой плоскости проекций. В данном случае это zА.

На рис. 2.6 показано построение проекции точки А4 по данным А1 и А2 и имеющемуся направлению новой оси проекции x14 при замене П2 на П4. На этом рисунке даны старая и новая оси проекций. Около каждой оси отмечены плоскости проекций, пересечением которых они являются.

Из точки А1, которая является инвариантом при данном преобразовании, проводим линию связи перпендикулярно к оси x14. От точки пересечения линии связи А14 с осью x14 откладываем второй инвариант - расстояние точки А до плоскости П1. Тогда А14А4=zА12А2.

На рис. 2.7 показано преобразование чертежа, при котором заменена плоскость П1 на П5. Здесь инвариантами являются проекция А2 и расстояние до незамененной плоскости П2. Построения понятны из чертежа. Очевидно, что А25А5=yА1А12.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Если необходимо заменить обе плоскости проекций, то преобразование нужно выполнять последовательно: сначала заменить одну плоскость проекций, а потом вторую.

На рис. 2.8 показано преобразование, в котором система П12 заменена на систему П56. Сначала заменена плоскость П1 на П5, а после этого П2 на П6.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки. Оси проекций z и y (рис. 2.1) образуют плоскость, перпендикулярную к оси x и к плоскостям П1 и П2. Обозначим эту плоскость П3 и назовем ее профильной плоскостью проекций.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Построение профильной проекции точки. Профильную проекцию А3 точки А на плоскость П3 найдем, заменив П1 на П3 (рис. 2.9).

В данном преобразовании старая система плоскостей проекций П12 заменяется на новую П23. Проекция А2 остается неизменной. Из точки А2 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций, и вдоль нее от новой оси откладываем второй инвариант - расстояние точки А до плоскости П2, равное yА= А1А12.

Новая ось проекций должна быть названа x23, но, учитывая традиции в изучении начертательной геометрии и то, что новая ось совпадает с осью z, мы вместо x23 напишем z23.

На рис. 2.10 и рис. 2.11 показаны практические приемы построения профильной проекции точки. Из точки А2 в обоих случаях проводится линия связи, параллельная горизонтальной оси эпюра. Вдоль этой линии от точки А23 откладывается отрезок, равный yА1А12. На рис. 2.10 эта операция производится с помощью дуги окружности, на рис. 2.11 с помощью отражения от прямой, проведенной под углом 450 к горизонтальной оси чертежа. Порядок построения показан стрелками.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Параллелепипед координат. На рис. 2.12 показана пространственная модель плоскостей проекций и построены проекции точки А на горизонтальную - А1, фронтальную - А2 и профильную - А3 плоскости проекций. Если плоскости проекций продолжить во все стороны, то они разобьют пространство на 8 частей, называемых октантами. Ограничимся рассмотрением проекций фигур, находящихся в первом октанте, которому соответствуют положительные направления осей.

При проецировании точки на плоскости проекций образуется параллелепипед, у которого три пространственных ребра АА1, АА2 и АА3 совпадают с проецирующими лучами. Шесть ребер параллелепипеда лежат на плоскостях проекций - по два ребра на каждой: А1А12 и А1А13 на П1; А2А12 и А2А23 на П2; А3А13 и А3А23 на П3. Эти ребра образуются пересечением плоскостей, заданных парами пересекающихся проецирующих лучей, с плоскостями проекций.

Последние три ребра совпадают с осями проекций: А12О - с осью x12, А13О - с осью y13 и А23О - с осью z23.

Так как данная система плоскостей проекций совпадает с прямоугольной системой координат, то полученный параллелепипед можно назвать параллелепипедом координат.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Совмещение плоскостей проекций осуществляем как и для случая построения комплексного двухкартинного чертежа точки. Плоскость П1 при этом вращается вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью П2, и горизонтальная проекция оси у1 опускается вниз (рис. 2.13). Плоскость П3 вращается вокруг оси z23 вправо до совмещения с плоскостью П2. При этом оси х12 и z23 остаются на месте. Профильная проекция оси у3 поворачивается вместе с плоскостью П3 вправо и встает на одну линию с осью х12.

На рис. 2.14 показан комплексный трехкартинный чертеж (эпюр) точки А. Также как и для комплексного двухкартинного чертежа точки в данном случае имеем:

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

1) горизонтальная и фронтальная проекции точки Алежат на одной прямой, перпендикулярной к осих12, т.е. А1А2 Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru х12;

2) фронтальная и профильная проекции точки Алежат на одной прямой, перпендикулярной к осиz23, т.е. А2А3 Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru z23. Доказательство этого положения аналогично приведенному ранее для комплексного двухкартинного чертежа точки, но только по отношению к оси z23.

Проекции точек, лежащих на плоскостях проекций. Проекции точки, лежащей на плоскости, можно получить, приравнивая нулю соответствующую координату, так как координата – отрезок, выражающий расстояние от точки до плоскости проекции (рис.2.15).

Рис. 2.15  
Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Поэтому, если zА=0, то А Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru П1 (рис. 2.15, а). При уА=0 А Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru П2 (рис. 2.15, б) и, когда хА=0, А Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru П3 (рис. 2.15, в).

Проекции точек, лежащих на осях проекций. На рис. 2.16 рассмотрены случаи, когда точка А лежит на осях проекций: А Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru x (рис. 2.16, а); А Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru y (рис. 2.16, б); А Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru z(рис. 2.16, в).

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Построение проекций точек по координатам. Последовательность построения проекций точки А (xA, yA, zA) следующая (рис. 2.17):

1) От точки О вдоль оси х12 откладываем отрезок длиной xA и отмечаем точку А12.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru 2) Через точку А12 проводим линию проекционной связи перпендикулярно оси х12.

3) Вниз на линии проекционной связи от точки А12 откладываем отрезок длиной yA и получаем горизонтальную проекцию А1.

4) Вверх на линии проекционной связи от точки А12 откладываем отрезок длиной zA и получаем фронтальную проекцию А2.

5) Строим профильную проекцию А3, для чего из точки А2 проводим линию проек-ионной связи перпендикулярно оси z23 и от полученной точки А23 откладываем отрезок длиной yA.

Проекции прямых линий

Положение прямой линии в пространстве вполне определяется двумя ее любыми точками. В общем случае проекцией прямой является прямая, в частном случае - точка, если прямая перпендикулярна плоскости проекций. Для построения проекций прямой достаточно иметь либо проекции двух ее точек, либо проекцию одной точки прямой и направление прямой в пространстве.

По своему расположению в пространстве относительно плоскостей проекций прямые линии разделяют на прямые общего положения, уровня и проецирующие.

2.2.1. Прямые общего положения.Это прямые, не параллельные и не перпендикулярные к плоскостям проекций. Проекции А1В1, А2В2 и А3В3 отрезка АВ прямой АВ общего положения (рис. 2.18, а) наклонены под острыми углами к осям x12, y13 и z23. Длины проекций отрезков этой прямой всегда меньше самого отрезка. Трехкартинный комплексный чертеж отрезка прямой общего положения, построенный по двум точкам А и В, показан на рис.2.18, б.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru 2.2.2. Прямые уровня. Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций - П1, П2 или П3. Следовательно, имеем три вида прямых уровня:

1) горизонтальная уровня a (горизонталь), параллельная П1 (прямая a с отрезком AB на ней на рис. 2.19, а, б);

2) фронтальная уровня (фронталь), параллельная П2 (прямая b c отрезком CD на ней на рис. 2.20, а);

3) профильная уровня, параллельная П3 (прямая с с отрезком ЕF на ней на рис. 2.20, б). На рис. 2.20 наглядные изображения прямых b и c относительно плоскостей проекций не показаны.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Одноименные проекции отрезков прямых уровня проецируются в натуральную величину, а разноименные параллельны осям, отделяющим их от одноименных. При этом для горизонтали одноименная проекция - горизонтальная, а разноименные - фронтальная и профильная и т. п.

Углы наклона прямых уровня a, b и c к плоскостям проекций П1, П2 и П3 принято обозначать соответственно α, β и γ (на рис. 2.19 углы α, β и γ не показаны).

2.2.3. Проецирующие прямые.Это прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и параллельные двум другим. Следовательно, имеем три вида проецирующих прямых:

1) горизонтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П1 (прямая а с отрезком AB на ней на рис. 2.21, а);

2) фронтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П2 (прямая b с отрезком CD на ней на рис. 2.21, б);

3) профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная П3 (прямая c с отрезком EF на ней на рис. 2.21, в).

На рис. 2.21 в скобки заключены проекции невидимых точек. Вопрос определения видимости точек на проекциях подробнее будет рассмотрен ниже в п. «Скрещивающиеся прямые».

У проецирующих прямых одноименные проекции представляют собой точки, что вытекает из существа проецирующей прямой, вдоль которой ведется проецирование.

Каждая разноименная проекция проецирующей прямой перпендикулярна оси, отделяющей ее от одноименной проекции, а разноимённая проекция отрезка, расположенного на прямой уровня, является натуральной величиной этого отрезка.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения.Натуральную величину прямой частного положения можно сразу определить на комплексном чертеже этой прямой.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения можно применить рассмотренный ранее (см. п. 2.1.2) способ замены плоскостей проекций. На рис.2.22 показано определение натуральной величины (Н.В.) отрезка AB прямой общего положения и определение углов наклона его к Π1 ( угол α) и к Π2 ( угол β) этим способом.

Дополнительная плоскость Π4проведена параллельноAB (х14||A1B1). Прямая AB преобразована в положение фронтали, следовательно A4B4 – натуральная величина AB.

Проведя дополнительную плоскостьΠ5||AB (х25||A2B2), также можно определить натуральную величинуAB. A5B5 – натуральная величинаAB. Прямая AB в системе Π25 стала горизонталью.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru На рис.2.23 показано определение натуральной величины ABметодом треугольника.Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – алгебраическая разность расстояний его концов от плоскости Π1 (ΔZ).

2.2.5. Взаимное положение прямых.Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться.

Параллельные прямые. Из свойств параллельных проекций следует, что если прямые в пространстве параллельны, то все три пары их одноименных проекций параллельны. Очевидно и обратное положение: если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые в пространстве параллельны.

Для определения параллельности прямых в общем случае достаточно параллельности двух пар одноименных проекций. В случае, если определяется параллельность линий уровня, то одной из двух пар параллельных проекций должна быть проекция на одноименную плоскость.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru На рис. 2.24 показаны проекции параллельных прямых a и b общего положения, где a1║ b1 и a2║ b2. На рис. 2.25 показаны две горизонтали c и d. У горизонталей фронтальные и профильные проекции всегда параллельны осям, отделяющих их от одноименных горизонтальных проекций, т. е. c2║ d2║ x12 и c3║ d3║ y3. Но горизонтальные их проекции не параллельны, т. е. c1╫ d1. Следовательно, прямые c и d не параллельны.

Пересекающиеся прямые. Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку. Из свойств параллельных проекций известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на проекциях прямой. Если точка лежит и на той и на другой прямой, т. е. в точке пересечения прямых, то ее проекция должна лежать сразу на двух одноименных проекциях прямых, а следовательно, в точке пересечения проекций прямых.

Так, если отрезки AB и CD двух прямых пересекаются в точке K, то проекции отрезков A1B1 и C1D1 пересекаются в точке K1, являющейся проекцией точки K (рис. 2.26, а). Поэтому, если одноименные проекции прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии проекционной связи, то прямые в пространстве пересекаются (рис. 2.26, б).

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Для определения того, пересекаются прямые или нет, достаточно, чтобы это условие выполнялось для двух каких-либо проекций. Исключение составляет случай, когда одна из пересекающихся прямых является профильной уровня. В этом случае для проверки пересечения прямых необходимо построение профильной проекции.

Пусть через точку A необходимо провести горизонталь b, пересекающую прямую a (рис. 2.27, а). Для этого через точку A2 проводим b2║ x12 (этап 1) до пересечения с a2 в точке K2 (рис.2.27, б). Далее с помощью линии проекционной связи на a1 находим точку K1 (этап 2) и, соединяя точки A1 и K1 (этап 3), получаем b1.

Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Скрещивающиеся прямые.Скрещивающиеся прямые a и b не лежат в одной плоскости и, следовательно, не параллельны и не имеют общих точек (рис.2.28, а). Поэтому, если прямые скрещивающиеся, то хотя бы одна пара их одноименных проекций не параллельна, и точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рис. 2.28, б).

Каждая такая точка пересечения является проекцией двух точек, принадлежащих прямым; эти две точки лежат на одном проецирующем луче и называются конкурирующими.

K1≡(L1)  
Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru

Точки K и L (рис. 2.28, а) лежат на одном горизонтально-проецирующем луче. Горизонтальные проекции точек совпадают и находятся в точке пересечения горизонтальных проекций a1 и b1 прямых. Точка K Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru a, точка L Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru b. Видно, что точка K выше точки L. Считают, что при проецировании на П1 точка K видна, а точка L - не видна (закрыта от наблюдателя точкой К).

Точки M и N лежат на одном фронтально-проецирующем луче (рис. 2.28, б). Фронтальные проекции точек совпадают и находятся в точке пересечения фронтальных проекций прямых a2 и b2. Точка M Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru a, точка N Комплексный двухкартинный чертеж точки. 1 страница - student2.ru b. Точка N дальше от П2, чем точка M, т. е. ближе к глазам наблюдателя, и поэтому при проецировании на П2 точка N видна, а точка M - не видна. Обозначения проекций невидимых точек принято заключать в круглые скобки.

Наши рекомендации