Признаки разрешимости конечных групп

Теорема 2.2.1 (Бернсайда). Конечная бипримарная группа является разрешимой.

Теорема 2.2.2 (Фейта–Томпсона). Конечная группа нечетного порядка разрешима.

Теорема 2.2.3 (Холла). Если всякая максимальная подгруппа конечной группы имеет своим индексом простое число или квадрат простого числа, то разрешима.

Теорема 2.2.4 (Виландта). Если конечная группа содержит три разрешимые подгруппы с попарно взаимно простыми индексами, то разрешима.

Лемма 2.2.1. Если , и разрешимы, то разрешима.

Доказательство. Пусть — разрешимая нормальная подгруппа группы , = , а факторгруппа разрешима ступени разрешимости . Тогда

и ⊆ . Теперь

и — разрешимая группа ступени не выше . Лемма доказана.

Теорема 2.2.5. Для группы следующие утверждения эквивалентны:

1. — разрешимая группа;

2.Каждая неединичная подгруппа группы отлична от своего коммутанта;

3. Группа обладает нормальным рядом с абелевыми факторами;

4. Группа обладает субнормальным рядом с абелевыми факторами.

Доказательство. Пусть дано утверждение 1, т.е. — разрешимая группа. Пусть ступень разрешимости группы равна .

Тогда

.

Факторы этого ряда по теореме 1.2.4 абелевы. Поэтому этот ряд является нормальным рядом с абелевыми факторами. Так как каждый нормальный ряд является субнормальным рядом, то из утверждения 1 следует утверждение 3 и 4, а из утверждения 3 следует 4.

По лемме 2.2.1 в разрешимой группе каждая подгруппа разрешима. Поэтому из утверждения 1 следует утверждение 2.

Пусть дано утверждение 4, т.е. группа обладает субнормальным рядом

с абелевыми факторами , i = 0,... ,t − 1. По теореме 1.2.4 получаем, что

≤ , = ≤ ≤ ,... ,

= ≤ ≤ =

и группа разрешима. Таким образом из утверждения 4 следует утверждение 1.

Пусть дано утверждение 2, т.е. в группе каждая неединичная подгруппа отлична от своего коммутанта. Тогда > . Если , то > . Поэтому существует натуральное такое, что = . Следовательно, группа разрешима и из утверждения 2 следует утверждение 1. Теорема доказана.

Теорема 2.2.6. Пусть — группа порядка , где p и — различные простые числа. Тогда:

1. если > , то силовская -подгруппа нормальна в ;

2. если > , то силовская -подгруппа нормальна в ;

3. если < , но > , то в группе есть неединичная нормальная -подгруппа.

Доказательство. Пусть и — силовские -подгруппа и -подгруппа группы . Ясно, что | : ( )|=1 или q, а по теореме 1.2.7

| : ( )|=1+ ; ∈ ∪{0}.

Аналогично,

| : ( )|= = 1+ ; , ∈ ∪{0}.

1. Если > , то | : ( )|=1и — нормальная подгруппа группы .

2. Если > , то | : ( )|=1 и — нормальная подгруппа группы .

3. Теперь пусть > и > . Если — нормальная подгруппа группы , то утверждение 3 справедливо. Пусть не является нормальной подгруппой группы и пусть и — различные силовские -подгруппы группы , для которых пересечение = ∩ имеет наибольший порядок. Так как

| |=| || | / | |= / | |≤ ,

то . Если — нормальная подгруппа группы , то теорема доказана. Пусть не является нормальной подгруппой группы . По лемме 2.2.1 подгруппа не является -группой, поэтому некоторая силовская -подгруппа группы содержится в . Так как = , то каждый элемент представим в виде , где ∈ , ∈ . Поэтому

. Теорема доказана.

Следствие 2.2.1. Группа порядка разрешима для любого ∈ ∪{0}.

Доказательство. По теореме 2.2.5 группа порядка не простая и содержит неединичную примарную нормальную подгруппу . Теперь подгруппа разрешима по лемме 2.1.2, а факторгруппа разрешима либо по индукции, либо по лемме 2.1.2. Из леммы 2.2.1 следует, что группа разрешима. Следствие доказано.