Преобразование лапласа,передаточная функция

Статические и динамические характеристики элементов и систем

Уравнения статики и динамики

Для эффективного управления технологическими процессами необхо-

димо иметь адекватное математическое описание процессов в АСР и ее эле-

ментах. Под математическим описанием (математической моделью) пони-

мают совокупность уравнений и ограничивающих условий, в количественной

форме описывающих зависимость выходных величин от входных. Эти зависи-

мости называют характеристиками. Они бывают статическими и динамически-

ми.

Динамическая характеристика (уравнение динамики) описывает изме-

нение во времени выходной величины при изменении входной величины, т.е.

переходной процесс в элементе (системе).

Статическая характеристика (уравнение статики) отражает функцио-

нальную связь между выходной и входной величинами в установившемся

режиме.

Уравнения динамики в общем виде являются дифференциальными или

интегрально-дифференциальными. Уравнения статики можно получить из

уравнений динамики, приравняв все производные по времени к нулю. И те, и

другие могут быть как линейными, так и нелинейными. Для упрощения ана-

лиза и расчетов нелинейные дифференциальные уравнения заменяют на ли-

нейные (линеаризуют) – обычно методом малых отклонений: разлагают в ряд

Тейлора вблизи интересующей точки и отбрасывают члены высшего поряд-

ка.

Статические характеристики обычно изображают в виде графиков, таб-

лиц, алгебраических уравнений, а динамические характеристики – в виде

дифференциальных уравнений или передаточных функций, временных гра-

фиков, частотных характеристик.

Дифферинцеальные уравнения элементов и систем

Преобразование лапласа,передаточная функция

где y, x – выходная и входная величины, зависящие от времени t; aп, bm – по-

стоянные коэффициенты; n ≥ m.

Уравнение, у которого правая часть равна нулю, называется однород-

ным. Если правая часть уравнения не равна нулю, то оно неоднородное. Ре-

шение однородного уравнения называется общим, или свободным.

При известных начальных условиях (функции и ее производных в на-

чальный момент времени, когда начался переходный процесс) получают ча-

стное решение уравнения. Общее решение неоднородного уравнения равно

сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частно-

го решения неоднородного уравнения:

Решение дифференциальных уравнений высокого порядка классиче-

ским методом довольно сложно, поэтому в теории автоматического регули-

рования используют метод интегрального преобразования Лапласа характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения:

Корни характеристического уравнения определяют решение однород-

ного дифференциального уравнения и потому характеризуют свободное (об-

щее) решение системы. Эти корни обращают знаменатель в нуль, а переда-

точную функцию – в бесконечность и называются полюсами передаточной

функции.

Передаточная функция связывает изображения выходной и входной

величин выражением

Применяя обратное преобразование Лапласа к изображению выходной

величины, можно найти решение исходного дифференциального уравнения,

а, значит, определить переходной процесс:

Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают вынужденные колебания на вы-

ходе системы, вызванные гармоническими воздействиями на ее входе. При

подаче на вход элемента или системы синусоидального воздействия с ампли-

тудой Авх и частотой ω = 2π/T (где T – период колебаний)

По окончании переходного процесса на выходе устанавливаются гар-

монические колебания y t A t ( ) sin ( ) = вых

[ω − ϕ ω ] той же частоты, но с другой

амплитудой Aвых(ω) и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний

на угол ϕ(ω). При изменении частоты от 0 до +∞ получают амплитудную

частотную характеристику (АЧХ) A(ω) = Aвых(ω)/Aвх и фазовую частотную

характеристику (ФЧХ) ϕ(ω) = ϕвых(ω) – ϕвх.

Для исследований и расчетов АСР применяют преобразование Фурье,

которое подобно преобразованию Лапласа, где значение p равно jω. Отно-

шение изображений по Фурье выходной и входной величин, равное

называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Выделяя действительную Re(ω) и мнимую Im(ω) составляющие, можно

АФЧХ представить в алгебраической форме:

Рис 1.2 Амплитудно частотная характеристика

Зависимость Re(ω) называют действительной частотной характеристикой,

а зависимость Im(ω) − мнимой частотной характеристикой. АФЧХ можно построить на комплексной плоскости при изменении частоты только от 0 до +∞,

так как она симметрична относительно действительной оси (рис. 1.2). АФЧХ

можно представить в виде радиуса-вектора на комплексной плоскости и за-

писать в экспоненциальной форме:

Значения модуля и аргумента вектора определяют по формула

Используя приведенные характеристики можно проводить исследова-

ния АСР. Ряд характеристик удобно получать по экспериментальным дан-

ным, не зная точного математического описания элементов и систем.