Примеры решения типовых задач по разделу
ПРЕДИСЛОВИЕ
Последние десятилетия отмечены бурным вторжением математики во все сферы человеческой деятельности. Роль математики как средства моделирования процессов окружающей нас действительности возросла многократно, и, как следствие этого, резко повысилась роль математического образования.
Целью учебно-методического пособия является формирование навыков решения основных задач из разделов математики «Линейная алгебра» и «Аналитическая геометрия».
Учебно-методическое пособие имеет следующую структуру:
• типовые задания по разделу «Линейная алгебра»;
• примеры решения типовых задач по разделу «Линейная алгебра»;
• типовые задания по разделу «Аналитическая геометрия»;
• примеры решения типовых задач по разделу «Аналитическая геометрия».
Линейная алгебра
Задача 1.Выполнить действия
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
Задача 2.Найти матрицу, обратную для заданной матрицы. Сделать проверку.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задача 3.Решить матричное уравнение.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. .
9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
.
15. 
. 16. 
.
17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
.
21. 
. 22. 
.
23. 
. 24. 
.
25. 
. 26. 
.
27. 
. 28. 
.
29. 
. 30. 
.
Задача 4.Найти ранг матрицы 
методом окаймляющих миноров.
1. 
2.
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задача 5.Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований
1. 
2. 
.
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
. 20. .
21. 
. 22. 
.
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
. 30. 
.
Задача 6.Решить систему линейных уравнений:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задача 7.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Примеры решения типовых задач по разделу «Линейная алгебра»
Задача 1.Выполнить действия
.
Решение. Найдем сначала произведение двух первых матриц и умножим последнюю матрицу на 2. Затем сложим полученные матрицы.
.
Задача 2.Найти матрицу, обратную для матрицы
А= 
Решение. Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников:
det A= 
следовательно, обратная матрица существует. Для матрицы третьего порядка формула вычисления обратной матрицы принимает вид:
.
Найдем алгебраические дополнения матрицы :
,
, 
,
Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя матрицы в формулу, получаем
.
Сделаем проверку:
Следовательно, обратная матрица найдена верно.
Задача 3.Решить матричное уравнение.
.
Решение. Введем следующие обозначения: 
Если матрица 
имеет обратную 
, то решение уравнения находится в виде 
.
Вычислим определитель матрицы: 
следовательно, обратная матрица существует и находится по формуле 
Найдем алгебраические дополнения 
:
Следовательно,
Таким образом, решение матричного уравнения
Замечание. Если матричное уравнение имеет вид 
, то его решением служит матрица 
.
Задача 4.Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.
Решение. Выберем минор второго порядка 
. Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор 
. Вычислим его.
Значит, минор базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е. 
Задача 5.Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований
Решение. Поменяем местами первую и вторую строку. В результате получим матрицу, эквивалентную данной.
На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 
, к третьей строке прибавим первую 
, а из четвертой вычтем первую, умноженную на 3 
Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой :
.
Далее, вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:
.
Получена матрица треугольного (ступенчатого) вида, и можно сделать вывод, что 
, т. е. числу ненулевых ее строк.
Задача 6. Решить систему линейных уравнений:
Решение. Воспользуемся методом Крамера. Вычислим определитель матрицы системы:
Значит, система имеет единственное решение. Найдем определители
Определитель 
получается из определителя 
заменой 1-го столбца столбцом свободных членов.
Определитель 
получается из определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов.
Заменим в определителе 3-ий столбец столбцом свободных членов и вычислим 
Решение системы находим по формулам:
Ответ. (2; 1;1).
Задача 7.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:
Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы:
Для того чтобы в первом столбце матрицы получить нули, выполним следующие преобразования: из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а от третьей вычтем первую. Получим матрицу, равносильную данной:
Чтобы получить матрицу треугольного вида, необходимо вычесть из третьей строки вторую. Окончательно получаем:
Ранг расширенной матрицы системы равен 3, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. 
, следовательно, система несовместна.
Задача 7.1.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:
Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:
Поменяем местами первую и третью строки матрицы:
Будем приводить матрицу к треугольному виду, для этого выполним следующие преобразования: первая строка будет ведущей, а от второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3. Получим равносильную систему:
Умножим вторую строку на 
, третью на 
При этом получим матрицу
Вычтем из третьей строки вторую и получим матрицу ступенчатого вида.
Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, т.е. 
, следовательно, система совместна. Сравним ранг матрицы с числом неизвестных системы: 
. Согласно теореме о числе решений система имеет бесконечное множество решений. Найдем их.
Из последней строки матрицы треугольного вида имеем 
, третьей строке соответствует уравнение 
. Зная , получаем 
Первой строке матрицы соответствует уравнение: 
Подставляя в это уравнение 
, получим уравнение 
Пусть 
, тогда 
.
Ответ: 
, где 
произвольная постоянная.
Аналитическая геометрия
Задача 1.
1. Найти периметр треугольника АВС, если
А(1;3;6), В(2;2;1), С(-1;0;1).
2. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если
А(-4;2;6), В(2;-6;0), С(-10;4;8).
3. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.
Найти периметр треугольника КМN, если
А(7;2;4), В(7;-4;-2), С(3;2;4).
4. Найти периметр ромба со стороной АВ, если А(-4;6;-3), В(-5;2;-4).
5. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если
А(-4;2;1), В(3;6;-5).
6. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,
если А(2;1;4), В(-1;5;-2).
7. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если
А(-1;5;-2), В(-7;-3;2), С(-5;-3;6).
8. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если
А(-1;-5;2), В(-6;0;-3), С(3;6;-3), D(-10;6;7).
9. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если
А(0;-1;-1), В(-2;3;5).
10. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если
А(5;2;0), В(2;5;0).
11. Найти периметр треугольника АВС, если
А(1;2;4), В(-1;1;1), С(2;5;0).
12. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если
А(3;-4;-3), В(1;2;1), С(5;0;-7).
13. АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.
Найти периметр треугольника КМN, если
А(-10;9;-7), В(-2;1;-3), С(-6;7;1).
14. Найти периметр ромба со стороной АВ, если
А(4;-8;-4), В(1;-4;6).
15. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если
А(14;4;5), В(-5;-3;2).
16. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,
если А(-2;-6;-3), В(-2;2;-1).
17. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если
А(1;2;0), В(3;0;-2), С(5;2;6).
18. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если
А(8;4;-9), В(2;-1;2), С(1;2;-1), D(3;2;1).
19. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если
А(-4;2;5), В(1;1;2).
20. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если
А(-1;1;3), В(2;-2;4).
21. Найти периметр треугольника АВС, если
А(-1;0;-2), В(2;3;1), С(4;1;-2).
22. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если
А(3;3;7), В(7;5;-3), С(1;1;-1).
23. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.
Найти периметр треугольника КМN, если
А(1;3;1), В(3;5;1), С(5;9;-7).
24. Найти периметр ромба со стороной АВ, если
А(1;5;-7), В(-3;6;3).
25. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если
А(-2;7;3), В(-3;4;-7).
26. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,
если А(1;5;-4), В(-5;-2;0).
27. Найти периметр треугольника АВС, если
А(-2;1;-5), В(0;4;1), С(-2;1;2).
28. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если
А(1;3;5), В(1;2;-3), С(7;1;-1).
29. Найти периметр ромба со стороной АВ, если
А(-1;2;-6), В(-4;5;-5).
30. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,
если А(2;3;-4), В(-2;-3;1).
Задача 2.Коллинеарны ли векторы 
и 
?
1. 
, 
, если 
, 
.
2. 
, 
, если 
, 
.
3. 
, 
, если 
, 
.
4. 
, 
, если 
, 
.
5. 
, 
, если 
, 
.
6. 
, 
, если 
, 
.
7. 
, 
, если 
, 
.
8. 
, , если 
, 
.
9. 
, 
, если 
, 
.
10. 
, 
, если 
, 
.
11. , 
, если 
, 
.
12. 
, 
, если 
, 
.
13. 
, 
, если 
, 
.
14. 
, 
, если 
, 
.
15. 
, 
, если 
, 
.
16. 
, 
, если , 
.
17. 
, , если 
, 
.
18. 
, 
, если 
, 
.
19. , , если 
, 
.
20. 
, 
, если 
, 
.
21. , 
, если 
, 
.
22. 
, 
, если 
, 
.
23. , , если 
, 
.
24. 
, 
, если 
, 
.
25. 
, 
, если 
, .
26. , 
, если 
, 
.
27. 
, 
, если 
, 
.
28. 
, 
, если 
, 
.
29. , 
, если 
, 
.
30. 
, 
, если 
, .
Задача 3.Найти скалярное произведение векторов:
1. 
, если , .
2. 
, если , .
3. 
, если 
, 
.
4. 
, если , .
5. 
, если , .
6. 
, если 
, 
.
7. 
, если 
, 
.
8. 
, если 
, 
.
9. 
, если 
, 
.
10. 
, если 
, 
.
11. 
, если 
, 
.
12. 
, если 
, 
.
13. 
, если 
, 
.
14. 
, если 
, 
.
15. 
, если 
, 
.
16. 
, если 
, 
.
17. 
, если 
, 
.
18. 
, если 
, 
.
19. 
, если 
, 
.
20. 
, если 
, 
.
21. 
, если 
, 
.
22. 
, если 
, 
.
23. 
, если , 
.
24. 
, если 
, 
.
25. 
, если 
, 
.
26. 
, если 
, .
27. 
, если 
, 
.
28. 
, если , .
29. 
, если 
, 
.
30. 
, если 
, 
.
Задача 4.Найти косинус угла между векторами 
и 
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
, 
.
4. 
, 
.
5. 
, 
.
6. 
, .
7. 
, 
.
8. 
, 
.