Примеры решения типовых задач по разделу

ПРЕДИСЛОВИЕ

Последние десятилетия отмечены бурным вторжением математики во все сферы человеческой деятельности. Роль математики как средства моделирования процессов окружающей нас действительности возросла многократно, и, как следствие этого, резко повысилась роль математического образования.

Целью учебно-методического пособия является формирование навыков решения основных задач из разделов математики «Линейная алгебра» и «Аналитическая геометрия».

Учебно-методическое пособие имеет следующую структуру:

• типовые задания по разделу «Линейная алгебра»;

• примеры решения типовых задач по разделу «Линейная алгебра»;

• типовые задания по разделу «Аналитическая геометрия»;

• примеры решения типовых задач по разделу «Аналитическая геометрия».

Линейная алгебра

Задача 1.Выполнить действия

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Задача 2.Найти матрицу, обратную для заданной матрицы. Сделать проверку.

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Задача 3.Решить матричное уравнение.

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Задача 4.Найти ранг матрицы Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru методом окаймляющих миноров.

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Задача 5.Найти ранг матрицы Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru методом элементарных преобразований

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . 30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Задача 6.Решить систему линейных уравнений:

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Задача 7.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность.

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Примеры решения типовых задач по разделу «Линейная алгебра»

Задача 1.Выполнить действия

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Решение. Найдем сначала произведение двух первых матриц и умножим последнюю матрицу на 2. Затем сложим полученные матрицы.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Задача 2.Найти матрицу, обратную для матрицы

А= Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Решение. Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru det A= Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

следовательно, обратная матрица существует. Для матрицы третьего порядка формула вычисления обратной матрицы принимает вид:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Найдем алгебраические дополнения матрицы Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru :

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru ,

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru ,

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя матрицы в формулу, получаем

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Сделаем проверку:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Задача 3.Решить матричное уравнение.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Решение. Введем следующие обозначения: Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Если матрица Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru имеет обратную Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , то решение уравнения находится в виде Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Вычислим определитель матрицы: Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ruследовательно, обратная матрица существует и находится по формуле Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Найдем алгебраические дополнения Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru :

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Следовательно,

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Таким образом, решение матричного уравнения

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Замечание. Если матричное уравнение имеет вид Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , то его решением служит матрица Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Задача 4.Найти ранг матрицы Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru методом окаймляющих миноров.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Решение. Выберем минор второго порядка Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . Вычислим его.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Значит, минор Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Задача 5.Найти ранг матрицы Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru методом элементарных преобразований

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Решение. Поменяем местами первую и вторую строку. В результате получим матрицу, эквивалентную данной.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , к третьей строке прибавим первую Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , а из четвертой вычтем первую, умноженную на 3 Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru :

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Далее, вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Получена матрица треугольного (ступенчатого) вида, и можно сделать вывод, что Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , т. е. числу ненулевых ее строк.

Задача 6. Решить систему линейных уравнений:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Решение. Воспользуемся методом Крамера. Вычислим определитель матрицы системы:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Значит, система имеет единственное решение. Найдем определители

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Определитель Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru получается из определителя Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru заменой 1-го столбца столбцом свободных членов.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Определитель Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru получается из определителя Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru заменой 2-го столбца столбцом свободных членов.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Заменим в определителе Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru 3-ий столбец столбцом свободных членов и вычислим Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Решение системы находим по формулам:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Ответ. (2; 1;1).

Задача 7.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Для того чтобы в первом столбце матрицы получить нули, выполним следующие преобразования: из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а от третьей вычтем первую. Получим матрицу, равносильную данной:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Чтобы получить матрицу треугольного вида, необходимо вычесть из третьей строки вторую. Окончательно получаем:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Ранг расширенной матрицы системы равен 3, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , следовательно, система несовместна.

Задача 7.1.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Поменяем местами первую и третью строки матрицы:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Будем приводить матрицу к треугольному виду, для этого выполним следующие преобразования: первая строка будет ведущей, а от второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3. Получим равносильную систему:

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Умножим вторую строку на Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , третью на Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru При этом получим матрицу

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Вычтем из третьей строки вторую и получим матрицу ступенчатого вида.

Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, т.е. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , следовательно, система совместна. Сравним ранг матрицы с числом неизвестных системы: Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . Согласно теореме о числе решений система имеет бесконечное множество решений. Найдем их.

Из последней строки матрицы треугольного вида имеем Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , третьей строке соответствует уравнение Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru . Зная Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , получаем Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Первой строке матрицы соответствует уравнение: Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Подставляя в это уравнение Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru получим уравнение Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru Пусть Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , тогда Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Ответ: Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , где Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru произвольная постоянная.

Аналитическая геометрия

Задача 1.

1. Найти периметр треугольника АВС, если

А(1;3;6), В(2;2;1), С(-1;0;1).

2. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(-4;2;6), В(2;-6;0), С(-10;4;8).

3. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А(7;2;4), В(7;-4;-2), С(3;2;4).

4. Найти периметр ромба со стороной АВ, если А(-4;6;-3), В(-5;2;-4).

5. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А(-4;2;1), В(3;6;-5).

6. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(2;1;4), В(-1;5;-2).

7. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если

А(-1;5;-2), В(-7;-3;2), С(-5;-3;6).

8. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если

А(-1;-5;2), В(-6;0;-3), С(3;6;-3), D(-10;6;7).

9. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если

А(0;-1;-1), В(-2;3;5).

10. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если

А(5;2;0), В(2;5;0).

11. Найти периметр треугольника АВС, если

А(1;2;4), В(-1;1;1), С(2;5;0).

12. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(3;-4;-3), В(1;2;1), С(5;0;-7).

13. АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А(-10;9;-7), В(-2;1;-3), С(-6;7;1).

14. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А(4;-8;-4), В(1;-4;6).

15. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А(14;4;5), В(-5;-3;2).

16. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(-2;-6;-3), В(-2;2;-1).

17. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если

А(1;2;0), В(3;0;-2), С(5;2;6).

18. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если

А(8;4;-9), В(2;-1;2), С(1;2;-1), D(3;2;1).

19. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если

А(-4;2;5), В(1;1;2).

20. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если

А(-1;1;3), В(2;-2;4).

21. Найти периметр треугольника АВС, если

А(-1;0;-2), В(2;3;1), С(4;1;-2).

22. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(3;3;7), В(7;5;-3), С(1;1;-1).

23. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А(1;3;1), В(3;5;1), С(5;9;-7).

24. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А(1;5;-7), В(-3;6;3).

25. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А(-2;7;3), В(-3;4;-7).

26. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(1;5;-4), В(-5;-2;0).

27. Найти периметр треугольника АВС, если

А(-2;1;-5), В(0;4;1), С(-2;1;2).

28. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(1;3;5), В(1;2;-3), С(7;1;-1).

29. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А(-1;2;-6), В(-4;5;-5).

30. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(2;3;-4), В(-2;-3;1).

Задача 2.Коллинеарны ли векторы Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru и Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru ?

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Задача 3.Найти скалярное произведение векторов:

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

9. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

10. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

11. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

12. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

13. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

14. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

15. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

16. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

17. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

18. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

19. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

20. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

21. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

22. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

23. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

24. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

25. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

26. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

27. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

28. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

29. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

30. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , если Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Задача 4.Найти косинус угла между векторами Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru и Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru

1. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

2. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

3. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

4. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

5. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

6. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

7. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

8. Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru , Примеры решения типовых задач по разделу - student2.ru .

Наши рекомендации