Указания к выполнению семестрового задания

Задания к семестровой работе

Каждое из приводимых ниже заданий предусматривает два уровня сложности. На первом уровне требуется непосредственное вычисление интегралов. Второй уровень сложности предполагает дополнительное использование ППП Mathcad. Задания этого уровня помечены символом *.

Задания и варианты индивидуальных данных

Задание 1.1) Вычислите значение I определенного интеграла от функции , используя метод замены переменной или интегрирования по частям. 2*) Запишите интегральные суммы функции на отрезке , разбивая отрезок интегрирования на равных частей. Найдите предел . Сравните его со значением I, найденным в п.1. 3*) Визуально отобразите проведенные исследования, постройте графики и I.

№ п/п	Интеграл	№ п/п	Интеграл	№ п/п	Интеграл

Задание 2.

1) Исследуйте поведение функции, заданной интегралом с переменным верхним пределом при . Вычислите несобственный интеграл по неограниченному промежутку . 2*) Постройте график функции и её горизонтальной асимптоты (если значение I конечно).

№ п/п	Интегралы	№ п/п	Интегралы	№ п/п	Интегралы

Задание 3. Исследуйте на сходимость : 1) Исследуйте поведение подынтегральной функции, найдите особые точки. 2) Вычислите несобственный интеграл от неограниченной функции по заданному отрезку , используя его определение через предел. 3*) Постройте график функции и график функции , заданной соответствующим интегралом с переменным пределом (верхним или нижним).

№ п/п	Интегралы	№ п/п	Интегралы	№ п/п	Интегралы

Задание 4.1) Нарисуйте область , ограниченную графиками , , (и, быть может, прямыми , ). Вычислите её площадь. 2*) Выполните это задание в ППП Mathcad.

№ п/п	Функции	№ п/п	Функции
	, .		, , , .
	, .		, .
	, , .		, , .
	, .		, .
	, , ( ).		, .
	, .		, , .
	, , .		, , , .
	, , , .		, .
	, .		, .
	, , , .		, .
	, .		, .
	, , .		, , , .

Задание 5.1) Вычислите площадь и массу однородной пластины, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярной системе координат, и имеющей плотность . 2*) Постройте график пластины и вычислить её площадь в ППП Mathcad.

№ п/п	Функция	№ п/п	Функция

Задание 6.1) Вычислите длину и массу дуги однородной кривой, заданной параметрически, если её линейная плотность равна , а уравнения кривой , , . 2*) Постройте график дуги и вычислите её длину в ППП Mathcad.

№ п/п	, ,	№ п/п	, ,

Задание 7.1) Вычислите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками заданных функций, вокруг оси Ox или оси Oy. Нарисуйте схематически фигуру и полученное тело. 2*) Вычислите объём тела в ППП Mathcad.

№ п/п	вокруг оси Ox	№ п/п	вокруг оси Oy

Указания к выполнению семестрового задания

Образцы выполнения

Задания и варианты индивидуальных данных для разных номеров вариантов приведены в п.4.1. При выполнении заданий в Mathcad предполагается, что студенты уже умеют использовать панель Calculus для ввода символов суммы, интеграла, предела, умеют строить графики в декартовой и полярной системах координат и проводить символьные вычисления, используя панель Symbolic.

Задание 1.

1) Вычислите значение I определенного интеграла от функции на отрезке .

План деятельности. 1) Исходя из вида подынтегрального выражения, выберите метод решения (замена переменной или интегрирование по частям). 2) Примените соответствующую формулу. Запишите ответ.

Пример выполнения. Вычислите .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: .

2*), 3*).

План деятельности. Разобьем отрезок на частей длины Тогда левые концы интервалов разбиения , . Составим интегральную сумму ,используя значения функции в левых концах интервалов. Вычислим её предел при . Построим графики интегральных сумм и график . По графику увидим, что значения интегральных сумм стремятся при к значению определенного интеграла I.

Образец выполнения в Mathcad:

рис.4.1

а) Зададим подынтегральную функцию и пределы интегрирования. б) Вычислим символьно (используя символ n→ в панели Symbolic). в) Зададим интегральную сумму и вычислим её предел.

Задание 2.

1) Исследуйте поведение функции, заданной интегралом с переменным верхним пределом при . Вычислите несобственный интеграл по неограниченному промежутку .

План деятельности. а) вычислите непосредственным интегрированием (или используя возможности символьного вычисления интегралов в Mathcad). б) Найдите предел (возможно, бесконечный).

Пример выполнения. Найдем .

Вычислим интеграл , используя метод замены переменных. Сделаем замену . Тогда . При . . По определению несобственного интеграла I рода , т.е. .

2*)

Образец выполнения в Mathcad:

рис.4.2

а) Зададим подынтегральную функцию. б) Определим функцию . в) Вычислим несобственный интеграл как предел функции и символьно. г) Построим график функции и её горизонтальной асимптоты .   По графику видим, как при значение приближается к .

Задание 3. Исследуйте на сходимость :

План деятельности:

1) Исследуйте поведение подынтегральной функции, найдите особые точки.

2) Вычислите несобственный интеграл от неограниченной функции по заданному отрезку , используя его определение через предел.

3*) Постройте график функции и график функции , заданной соответствующим интегралом с переменным пределом (верхним или нижним).

Пример выполнения. Исследовать на сходимость .

1) Подынтегральная функция имеет в точке разрыв второго рода, т.к. .

2) Рассмотрим для . Тогда . Значит, несобственный интеграл расходится.

3*)

рис.4.3

На рис. 4.3 показано, что обе функции и стремятся к бесконечности при .

Задание 4.

1) Нарисуйте область , ограниченную графиками , , (и, быть может, прямыми , ). Вычислите её площадь.

2*) Выполните это задание в ППП Mathcad.

План деятельности.

Если область задана системой неравенств то её площадь вычисляется по формуле (3.1): .

а) Если значения и не заданы в условии, то находим их как абсциссы точек пересечения графиков функций и , т.е. решаем уравнение .

б) Исследуем, график какой из функций выше другого на . Обозначим её через , и при .

Пример выполнения. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

рис. 4.4

Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков как корни уравнения , . Эти корни и определяют пределы интегриро-вания. Т.к. на отрезке прямая проходит ниже параболы (см. рис.4.4), то

.

Решение примера в Mathcad:

1) Определим функции и и построим их графики (рис. 4.4).

2) Найдем точки пересечения графиков, используя ключевые слова Given и Find и знак символьного равенства (< Ctrl > + < = >).

Given

3) Определим площадь и вычислим её значение.

.

Задание 5.

1) Вычислите площадь и массу однородной пластины, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярной системе координат, и имеющей плотность .

2*) Постройте график пластины и вычислите её площадь в ППП Mathcad.

Пример выполнения. Найти площадь и массу фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли , и имеющей плотность .

Решение. В табл. П.3 показано, что данная фигура состоит из четырех частей, симметричных относительно горизонтальной и вертикальной осей. Поэтому сначала вычислим площадь четверти данной фигуры, лежащей в первой четверти, т.е. .

.

Вся площадь равна , масса .

Решение примера в Mathcad:

1) Зададим

2) Для построения графика функции, заданной в полярной системе

рис. 4.5

координат, щелкните по рабочему документу, по пункту меню Graph/Polar Plot (или кнопке ). Откроется окно построения графиков.Введите в помеченные позиции имя аргумента и функции и щелкните по рабочему документу вне поля графика (рис. 4.5).

3) Зададим площадь и вычислим её.

.

Задание 6.

1) Вычислите длину и массу дуги однородной кривой, заданной параметрически, если её линейная плотность равна , а уравнения кривой , , .

2*) Постройте график дуги и вычислите её длину в ППП Mathcad.

План деятельности.

а) Находим и .

б) Вычисляем дифференциал длины дуги .

в) Длину находим как определенный интеграл: . Тогда масса .

Пример выполнения. Найти длину и массу астроиды , , , если и её линейная плотность равна .

Решение. В табл. П.3 приведен график астроиды. Он получен как траектория движения точки на маленькой окружности радиуса , движущейся внутри окружности, радиуса . Вычислим длину части , соответствующей значениям . В силу симметрии .

а) ; .

б) .

в) При . Тогда вся длина , масса .

Решение примера в Mathcad:

1) График, заданный параметрически, строим, используя пункт меню X-Y Plot или соответствующую кнопку в панели инструментов Graph. В помеченных позициях возле оси Ox вводим имя аргумента, возле оси ординат - имя функции. Затем щелкните по рабочему документу вне окна графика (рис. 4.6).

рис. 4.6

2) Определим длину формулой и вычислим её. Масса и её значение .

Задание 7.

1) Вычислите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками заданных функций, вокруг оси Ox. Нарисуйте схематически фигуру и полученное тело.

2*) Вычислите объём тела в ППП Mathcad.

План деятельности.

а) если вращаемая фигура задана условиями , , то объём находим по формуле (3.*): .

б) Если заданы только уравнения линий и , ограничивающих фигуру, то находим точки и как абсциссы точек пересечения графиков этих функций, т.е. находим решения уравнений .

в) Исследуем знак разности на . Для этого достаточно определить знак этого выражения в какой-либо точке из . Допустим, при , т.е. график функции лежит выше графика , . Тогда объём вычисляется по формуле

(4.*)

В противном случае меняем в формуле (4.*) и местами.

Пример выполнения. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной гиперболой и прямыми , , , вокруг оси Ox.

Решение. На отрезке график гиперболы лежит выше прямой . Поэтому по формуле (4.*) вычислим

.

Решение примера в Mathcad:

1) Зададим верхнюю и нижнюю границы , и пределы интегрирования и .

2) Определим объём формулой .

3) Вычислим объём символьно .