Гармонические колебания и их парамеиры

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

ЗАДАЧА АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Постановка задачи

Любое сложное по форме электрическое воздействие можно разложить на ряд простых , например, гармонических колебаний. Этот ряд называют спектром воздействия. Для линейных цепей применим принцип суперпозиции (наложения). Суть его в том, что если воздействие представлено суммой воздействий, то отклик будет также состоять из суммы откликов, полученных от каждого воздействия в отдельности.

Этот принцип лежит в основе многих методов анализа (расчета) линейных цепей, в частности, в спектральном методе (метод Фурье). В связи с этим нужно научиться рассчитывать цепь при воздействии гармонической функции.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что если воздействие гармоническое x(t) = Х_m∙cos(ωt + φ_X) с частотой w, то и отклик получится гармоническим y(t) = Y_m∙cos(ωt + φ_Y) с той же частотой w.

Cледовательно, решение задачи по расчету цепи отклика y(t) сводится к определению только двух из трех параметров - Y_m и φ_Y.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ПАРАМЕИРЫ

Если u₁(t) – гармоническое напряжение (рис. 2.1), то математическая модель его мгновенного значения имеет вид

u₁ (t) = U_mcos (ωt + φ₀₁) = U cos (ωt + φ₀₁) (2.1)

Параметры U_m и U = U_m/ называют соответственно амплитудойи действующим значениемгармонического колебания.

Величина ω = 2π·f [рад/с] называется угловой частотой,где f = 1/T[Гц]–циклическая частота(просто частота), величина, обратная периоду колебаний T[с]. Эти параметры показаны на рис. 2.1.

Аргумент косинуса θ(t) = (ωt + φ₀₁) называется полной фазой(просто фаза) гармонического колебания.

Величина φ₀₁, равная значению фазы θ(0) при t = 0 называется начальной фазой. Она определяет значение гармонической функции при t = 0, т.е. в начале координат: u(0) = U_m∙cos(φ₀₁).

Кроме того, по значению начальной фазы можно оценить положение максимального значения косинусоидальной гармонической функции на оси времени. Пусть t = t₀₁ – время, при котором гармоническая функция принимает максимальное значение u(t₀₁) = U_m. Это значит, что полная фаза в момент времени t₀₁ равна нулю θ(t₀₁) = (ωt₀₁ + φ₀₁) = 2πn. Решая это уравнение, получим (см. рис.2.1) t₀₁ = –φ₀₁/ω. (2.2)

Таким образом, положение максимума на оси времени определяется значением и знаком начальной фазы. Если φ₀₁ > 0, кривая косинуса смещена влево от начала координат (см. рис. 2.2), если φ₀₁ < 0, то – вправо.

По численному значению φ₀₁ можно оценить положение гармонической функции по оси времени. На рис. 2.2 изображены графики двух гармонических напряжений одинаковой частоты, которые смещены относительно начала координат в разные стороны. На основании формулы (2.2) можно записать выражения мгновенных значений этих напряжений (см. рис.2.2)

u₁ (t) = U_mcos (ωt + φ₀₁), u₂ (t) = U_mcos (ωt – φ₀₂).

Если увеличить значения начальных фаз двух напряжений, то первая кривая сместится влево, а вторая – вправо.

Большое значение в расчетах линейных цепей при гармоническом воздействии имеет сравнение двух гармонических функций по значению начальных фаз, т. е. по взаимному положению кривых на оси времени. Если за начала отсчета функции принять точку максимального значения, т. е. t₀ (рис. 2.1), то та функция, которая на оси времени в сторону увеличения встречается первой, опережает по фазе вторую. На рис. 2.2 показан случай, когда u₁ (t) опережает u₂ (t).

Эту оценку принято делать по значению параметра – разность фаз Ψ

Ψ = φ₀₁ – φ₀₂ = (t₀₁ – t₀₂)/ ω (2.3)

Если Ψ > 0,топервая функция (слева) опережает вторую (справа) или вторая отстает от первой (см. рис. 2.2).

Если Ψ < 0,топервая функция отстает по фазе от второй.

Если Ψ = 0– функции совпадают по фазе.

Если Ψ = ±π, то функции противофазны.

Если Ψ = ±π/2, то колебания находятся во временной квадратуре.