Экстремум ф-и двух переменных

Пусть ф-я определена в нек-рой области и пусть . Т. наз точкой максимума ф-и , если существует такая D– окрестность т. , что для любой точки из этой окрестности вып-тся нер-во < . Аналогично определяется т. минимума. Для всех точек из D– окрестности > значение ф-и в точке максимума (минимума) наз максимальным (минимальным) значением или . называют экстремумом.

В силу определения т. экстремума лежит внутри области определения ф-и. имеют локальный хар-р. В области определения ф-я может иметь неск-ко экстремумов.

Т. Необходимое условие экстремума. Если в точке дифференцируемая ф-я имеет экстремум, то в этой точке частные производные =0.

О. Точка, в к-рой частные производные =0 наз стационарной. Стационарные точки, а также точки, в к-рых хотя бы одна из частных производных не существует наз-ют критическими. Для нахождения точек экстремума необходимо каждую критическую точку в области определения подвергнуть доп. исследованию.

Т. Достаточное условие экстремума. Пусть стационарные точки и нек-рой ее окрестности ф-я имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Вычислим в точке значение

Составим определитель . Тогда 1)если D>0, то в т. –экстремум . Причем, если А<0 – максимум, если А>0–минимум. 2)Если D<0, то ф-я в т. экстремума не имеет. 3)В случае, когда D=0, экстремум в ф-и может быть, а может и не быть.

Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.

Двойной интеграл и его св-ва.

Двойным интегралом от ф-и по области наз предел ее интегральной суммы при l®0, т.е.

Ф-я –наз подинтегральной ф-ей. –область интегрирования, также обозначается . Если предел сущ-ет, то ф-я наз интегрируемой в области . Непрерывн. ф-ии явл. интегрируемыми.

Геом. смысл . от ф-и >0 по области =объему цилиндра с основанием , ограниченного сверху поверхностью .

Св-ва:

если ф-и и интегрируемы в обл. , то интегрируемы в этой обл. их сумма и разность. Причем

постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

если интегрируема в обл. и обл. разбита на 2 непересек области и , тогда двойной интеграл в области .

если ф-и и интегрируемы в обл. , причем £ , тогда если ф-я интегрируема в обл. , то ф-я также интегрируема в этой обл.. Причем если ф-я интегрируема в обл. , причем для из этой обл. выполн нер-во , тогда , где – площадь обл .

Вычисл двойного интеграла в прямоуг. Декартовых координатах.

При вычислении внутреннего интеграла считается постоянным. Правую часть ф-лы наз-ют повторным интегралом. =

Ст-тной областью в данном направлении (направление данной оси) наз такая обл., для к-рой любая прямая параллельная этой оси и имеющая с дано обл. общие точки, пересекает границу не более 2 раз. В направлении оси Оу-область ст-тная, в направлении оси Ох-обл. ст-тной не явл.

Если обл. интегрирования не удовлетв. условиям ст-тной обл., каждая из к-рых была бы ст-тна в направлении одной из осей, необходимо разбить обл. интегрирования и вычислить двойные интегралы по каждой части отдельно.

Тройной интеграл.

Рассм. ограниченную замкнутую пространственную обл. и определенную в ней ф-ю . Аналогично строится интегральная сумма по данному объему и определяется тройной интеграл от ф-и по пространственной обл.

Св-ва тройного интеграла (обладает св-вами двойного интеграла):

предположим, что обл. явл. ст-тной в направлении оси , т.е. удовлетворяет след. условиям:

(условие ст-тной обл.)

проекция обл. на плоскость представляет собой ст-тную обл. по оси Ох или Оу.

Если ст-тная обл. ограничена сверху поверхностью , снизу - , а проекция обл. на плоскость определяется нер-вом т.е. обл. ст-тная, тогда

Замечание. Если проекция обл. на плоскость представляет собой ст-тную обл. по оси Ох и определяется нер-вом . , тогда

Замечание. Если обл. явл. ст-тной в напр-и каждой оси и ее проекции на коорд. пл-сти явл. ст-тными в направлении каждой соотв-щей оси, то пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить 6 различными способами.

Замечание. Если обл. представляет собой параллелепипед, ограниченный , тогда . Т.к. параллелепипед явл. ст-тной обл. в направлении любой из осей и его проекции также явл. ст-тными в направлении каждой из соотв. осей, то в данном интеграле пределы интегрирования можно расставить 6 способами.

Вопрос №34. Числовые и функциональные ряды.

Числовые ряды.

Числовой ряд-символ, обозначаемый

Числа наз-ют членами этого ряда.

Суммы конечного числа членов этого ряда наз-ют частичными суммами или отрезками данного ряда.

Рассм. послед-сть . Если сущ-ет , то ряд наз-ют сходящимся, число –суммой этого ряда. Если послед-сть не имеет предела, то ряд расходящийся.

Св-ва числовых рядов:

если из членов ряда отбросить первых членов, то получим ряд , к-рый наз –ным остатком. Остаток данного ряда сходится и расходится одновременно с исходным рядом. Это означает, что при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать конечное число первых членов.

(необходимый признак сходимости). Общий член сходящегося ряда ®0, т.е. , что не явл. достаточным признаком.

если ряд сходится и его сумма = , то ряд также сходится, и его сумма =

если 2 числ ряда и сходятся, тогда ряд

Положительные ряды.

Полож. рядом наз ряд, члены к-рого неотриц.

Признак сравнения.

Пусть даны 2 «+» ряда (1) и (2) начиная с нек-рого номера вып-тся условие , тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Признак Даламбера.

Если члены «+» -ного ряда таковы, что сущ-ет предел , тогда если r<1 -ряд сходится; r>1 - расходится; r=1 -нужны доп. исследования.