Электромагнитные волны. Волновое уравнение

Мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электро-магнитное поле, то в пространстве, окружающем заряды, возникнет последовательность взаимных превращений электрического и маг-нитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну.

Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из системы уравнений Максвелла (5.2.3, 5.2.9–5.2.12). Для упрощения ма-тематических преобразований рассмотрим электромагнитное поле в случае однородной незаряженной (объемная плотность заряда ρ = 0), непроводящей (плотность тока j = 0), не сегнетоэлектрической (ε = const) и неферромагнитной (μ = const) среды.

Система уравнений Максвелла для этого случая с учетом матери-альных уравнений ( D =εε ₀ E , B =μμ₀H ) будет иметь вид:

rotE = − ^dB_dt

rotH = ^dD (6.1.1)

dt ^div_divH^{E =}₌⁰₀

Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в координат-ной форме:

∂E

z

−

∂Ey

= −μμ0

dH

x

∂z

dt

)

dH

∂y

d (μμ0 H

∂E

∂E

dH y

rot E = −

⇒ rotE = −μμ 0

⇒

x

−

z

= −μμ0

dt

dt

dt

∂z

∂x

∂Ey

−

∂E

x = −μμ0

dH

z

∂x

dt

∂y

∂H

z

−

∂H y

=εε0

dE

x

∂y

∂z

dt

)

dE

d (εε0 E

∂H

∂H

dEy

rot H

=

⇒ rotH = εε 0

⇒

x

−

z

= εε0

dt

dt

∂z

∂x

dt

∂H y

−

∂H

x = εε0

dE

z

∂x

∂y

dt

divE = 0 ⇒ ^∂_∂^E_x^x + ^∂_∂^E_y^y + ^∂_∂^E_z^z = 0 divH = 0 ⇒ ^∂_∂^H_x^x + ^∂_∂^H_y ^y + ^∂_∂^H_z^z = 0.

(6.1.2)

(6.1.3)

(6.1.4)

(6.1.5)

Возьмем ротор от выражения (6.1.3) и изменим последователь-ность дифференцирования по координатам и времени:

d

rot ( rot E )= rot −μμ 0 dH ⇒ rot ( rot E )= −μμ0

( rot H ).

(6.1.6)

dt

dt

Подставим выражение (6.1.6) в выражение (6.1.7):

2

d

dE

d

rot ( rotE )= −μμ 0

εε 0

⇒ rot ( rot E )

= −μμ 0 εε0

E2 .

(6.1.7)

dt

dt

dt

Так как выражение в правой части (6.1.7) представляет двойное

векторное произведение , то

rot (rotE ) = ∇× ( ∇× E ) = ∇ ( ∇ E ) − ( ∇∇ ) E =

(6.1.8)

= ∇ ( ∇ E ) −

E =∇(divE )−

E.

С учетом (6.1.4) получим:

E.

rot (rotE )= −

(6.1.9)

Подставим (6.1.9) в (6.1.7) и получим:

E =μμ

εε

d 2 E .

(6.1.10)

dt2

Аналогично можно получить для H :

H =μμ

εε

d 2 H .

(6.1.11)

dt2

Выражения (6.1.10−6.1.11) представляют собой волновые уравне-

ния для E и H :

d 2 E

− υ

d 2 H

−

υ

(6.1.12)

dt2

E =0и

dt2

H =0,

где υ =

− фазовая скорость электромагнитной волны.

μμ 0 εε0