Материальные уравнения или уравнения связи

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Здесь Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - диэлектрическая проницаемость, а Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - диэлектрическая восприимчивость.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru -разложение функции Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru в ряд Маклорена.

Если же Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru :

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Возможно разложить Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru по векторам Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru в ряд Маклорена:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Первое слагаемое – это индукция, связанная с собственным дипольным моментом в отсутствие внешнего поля (собственная поляризация) – пироэлектричество.

Второе слагаемое – линейные среды.

Третье слагаемое – учёт нелинейности среды.

Среды, для которых нелинейные члены в разложении индукции по полю имеют вес, называются нелинейными.

Линейные среды

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Введём обозначение: Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , тогда

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Аналогично вводятся тензоры:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Для ферромагнетиков Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - учёт нелинейности.

Неоднородные среды

Среды, для которых материальные характеристики ( Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru ) являются функциями координат.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Т.е. характеристики трансляционно не инвариантны.

Введём понятие сплошной среды. Сплошная среда – это среда, в каждой точке которой измерение материальных характеристик даёт не нулевой результат. Сплошная среда – это модель. В реальной среде имеются микро-пустоты, т.е. вещество локализовано в некоторых точках пространства. Чтобы перейти к сплошной среде, нужно усреднить микропараметры по достаточно большому объёму.

Анизотропные среды

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Анизотропные среды (свойства), это такие среды, свойства которых зависят от направления, в котором это свойство измеряется.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru Пусть в каком-то направлении исследуются оптические свойства среды. Затем мы повернули направление исследования, и оптические свойства изменились, т.е. оптические свойства зависят от угла поворота.

Так как свойства меняются, то они не инвариантны относительно вращения. Этим свойством обладает всякая анизотропная среда.

Для тензоров 2-го ранга есть исключения:

Кубические системы описываются тензорами изотропного вида, т.е.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Монокристалл – есть однородная анизотропная среда.

22 § 31. Поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред

Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:

Теорема Остроградского-Гаусса:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

т.е. совершается следующий переход:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Теорема Стокса:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - нормаль к поверхности.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - скачок функции на границе раздела двух сред.

Рассмотрим цилиндр, образующие которого перпендикулярны поверхности Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru . По объёму Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru проинтегрируем первое уравнение Максвелла:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

При Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru а следовательно и Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.

Аналогично:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Тогда:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

В пределе, при Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - заряд на поверхности раздела двух сред Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Пусть в пределе Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , при этом

 
  Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru
Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

В результате получаем:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Если на поверхности нет свободных зарядов, то Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru и Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , т.е. Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - непрерывна.

Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Получим

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Т.е. Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - всегда непрерывна, её скачок всегда равен нулю.

Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru Тогда по теореме Стокса:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Рассмотрим левую часть этого равенства:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Второе слагаемое, при Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru даёт 0.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - ток, протекающий через поверхность Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , причём ток положителен в направлении нормали Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

При Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Воспользуемся теоремой о среднем:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Рассмотрим предельный переход при Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , тогда Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - поверхностный ток, текущий через Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru перпендикулярно чертежу.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

При Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - ток, текущий по поверхности, в расчёте на длину.

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

В результате получаем:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Если Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , то Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru - непрерывна.

Аналогично для третьего уравнения Максвелла:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Имеем:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.

Определим Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

тогда Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Ввиду произвольности Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru , это выражение эквивалентно выражению:

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Материальные уравнения или уравнения связи - student2.ru

Наши рекомендации