Материальные уравнения или уравнения связи
Здесь - диэлектрическая проницаемость, а - диэлектрическая восприимчивость.
-разложение функции в ряд Маклорена.
Если же :
Возможно разложить по векторам в ряд Маклорена:
Первое слагаемое – это индукция, связанная с собственным дипольным моментом в отсутствие внешнего поля (собственная поляризация) – пироэлектричество.
Второе слагаемое – линейные среды.
Третье слагаемое – учёт нелинейности среды.
Среды, для которых нелинейные члены в разложении индукции по полю имеют вес, называются нелинейными.
Линейные среды
Введём обозначение: , тогда
Аналогично вводятся тензоры:
Для ферромагнетиков - учёт нелинейности.
Неоднородные среды
Среды, для которых материальные характеристики ( ) являются функциями координат.
Т.е. характеристики трансляционно не инвариантны.
Введём понятие сплошной среды. Сплошная среда – это среда, в каждой точке которой измерение материальных характеристик даёт не нулевой результат. Сплошная среда – это модель. В реальной среде имеются микро-пустоты, т.е. вещество локализовано в некоторых точках пространства. Чтобы перейти к сплошной среде, нужно усреднить микропараметры по достаточно большому объёму.
Анизотропные среды
Анизотропные среды (свойства), это такие среды, свойства которых зависят от направления, в котором это свойство измеряется.
Пусть в каком-то направлении исследуются оптические свойства среды. Затем мы повернули направление исследования, и оптические свойства изменились, т.е. оптические свойства зависят от угла поворота.
Так как свойства меняются, то они не инвариантны относительно вращения. Этим свойством обладает всякая анизотропная среда.
Для тензоров 2-го ранга есть исключения:
Кубические системы описываются тензорами изотропного вида, т.е.
Монокристалл – есть однородная анизотропная среда.
22 § 31. Поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред
Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:
Теорема Остроградского-Гаусса:
т.е. совершается следующий переход:
Теорема Стокса:
Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:
Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.
- нормаль к поверхности.
- скачок функции на границе раздела двух сред.
Рассмотрим цилиндр, образующие которого перпендикулярны поверхности . По объёму проинтегрируем первое уравнение Максвелла:
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:
При а следовательно и
В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.
Аналогично:
Тогда:
В пределе, при ,
- заряд на поверхности раздела двух сред
Пусть в пределе , при этом
|
В результате получаем:
Если на поверхности нет свободных зарядов, то и , т.е. - непрерывна.
Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла
Получим
Т.е. - всегда непрерывна, её скачок всегда равен нулю.
Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла
Тогда по теореме Стокса:
Рассмотрим левую часть этого равенства:
Второе слагаемое, при даёт 0.
- ток, протекающий через поверхность , причём ток положителен в направлении нормали
При
Воспользуемся теоремой о среднем:
Рассмотрим предельный переход при , тогда
- поверхностный ток, текущий через перпендикулярно чертежу.
При - ток, текущий по поверхности, в расчёте на длину.
В результате получаем:
Если , то - непрерывна.
Аналогично для третьего уравнения Максвелла:
Имеем:
Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.
Определим
тогда
Ввиду произвольности , это выражение эквивалентно выражению: