Правила вычисления предела

Непрерывность функции

Определение 1. Функция непрерывна в точке , если предел этой функции при равен значению функции в предельной точке, то есть .

Применяя второе определение предела функции в точке, получим

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если .

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если , где приращение аргумента функции ( ), а – приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента .

Доказательство следует из первого определения непрерывной функции

Здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как предел постоянной, поскольку не зависит от .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если

.

Определение 5. Функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна во всех точках этой области.

Все степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции непрерывны в областях существования.

Свойства непрерывных функций

Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Действительно, из определения 1 непрерывности следует, что если и , то

.

2). Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.

3). Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.

Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.

4). Пусть функция непрерывна в точке , пусть функция непрерывна в точке . Тогда функция непрерывна в точке .

Очевидно, что

.

Так как согласно определению 3 непрерывности при и при , получим: при .

Таким образом, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Пример. Функция непрерывна во всех точках числовой оси, так как функция непрерывна на , а функция непрерывна на множестве неотрицательных чисел.

Точки разрыва функции

Определение. Точкой разрыва функции называется внутренняя точка области задания функции, в которой нарушается непрерывность функции. Если в точке разрыва функция, к тому же, не существует, ее часто называют особой точкой. Так функция существует на всей числовой оси, кроме точки . Эта точка – особая, и в ней функция терпит разрыв.

Разрыв может быть конечным, если и принимают конечные, но не равные значения. Разность между этими значениями называют скачком функции в точке разрыва.

Пример. Функция . Очевидно, ,

.

Разрыв бесконечный, если левый, правый или оба предела бесконечны.

Пример. . Имеем , .

Разрыв называется устранимым, если и эти пределы конечны, но функция в точке не задана.

Пример. Функция не может быть задана при (деление на ноль), однако и левый и правый ее пределы равны 1, что следует из первого замечательного предела.

Устранить этот недостаток можно введением другой функции . Эта функция совпадает с заданной во всех точках, кроме 0, но она существует и непрерывна на всей числовой оси, что следует из свойств непрерывной функции.

Вычисление пределов

Вначале выясним, в чем смысл вычисления пределов? В точках, где функция определена и непрерывна, соответствующий предел можно получить, вычислив ее значение. Особый подход к вычислению предела необходим, когда желательно знать поведение функции в окрестности особой точки, или установить, как ведет себя функция при стремлении ее аргумента к бесконечности.

Рассмотрим функции и .Последняя получена в результате формального сокращения числителя и знаменателя первой на множитель . Это разные функции, так как имеют разные области существования, хотя их значения совпадают повсюду, кроме точки . В этой точке первая функция не существует (деление на ноль), вторая равна 2. Теперь вычислим предел . Рассмотрим последовательность действий под знаком предела. Здесь мы заменяем одну функцию на другую в той области, где они совпадают, ибо при вычислении предела стремится к предельной точке 1, не попадая в саму эту точку. Итак, рассматриваемая функция в точке 1 не существует, но стремится к значению 2 при . Исследуем . Он равен 3, так как и являются бесконечно малыми при . Сокращение на также законно, поскольку , а только стремится к бесконечности, то есть принимает сколь угодно большие, но конечные значения.

Правила вычисления предела

Чтобы вычислить , необходимо.

1. Попробовать подставить в функцию, стоящую под знаком предела, . Если функция в этой точке непрерывна, в соответствии формулой предел равен числу .

2. Если точка не входит в область определения функции, то конечный предел может не существовать, и если абсолютная величина функции неограниченно увеличивается при стремлении переменной к , то пределом является бесконечность.

3. Если в результате подстановки получается неопределенность, то есть выражение вида , следует раскрыть эту неопределенность, сделав сокращения, или привести получаемое выражение к замечательному пределу или его следствию. Примеры.

1. .
2. .

Неопределенности показывает, что в числителе и знаменателе присутствуют бесконечно большие функции. Чтобы избавиться от них следует вынести самую большую величину в числителе и знаменателе за скобки, произвести сокращение, после чего еще раз применить пункт 1 правил.

Примеры.

1. .
2. .
3. Неопределенности приводятся вначале к виду или , затем раскрываются одним из перечисленных выше способов.

Примеры.

1)

2) .

3) Проверить непрерывность функции .

4) Поскольку функции , и непрерывны в областях их задания, достаточно рассмотреть функцию в точках стыковки этих функций. Итак, для имеем , , .

Функция в этой точке непрерывна согласно определению 4.

Для имеем , , . Условие непрерывности в точке не выполняется.

Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси за исключением точки , где она имеет конечный разрыв со скачком

(-1).